變數代換法

        許多教科書會列出一些不定積分的表（稱為常用積分表），將一些常見函數的積分公式列出。所謂積分的技巧，便是指任一求不定積分之有系統的方法，其中有三種技巧是比較重要的。第一種為變數代換法，第二種為分部積分法，第三種為部分分式法。這幾種主要的積分技巧，除了協助積分表之建立，並常可用來將一些所欲求的積分，轉換為積分表中有的基本形式，因此求出其積分。本單元便先討論變數代換法。

        變數代換法是由微分的連鎖規則來的。在適當的條件下（g 有一連續的導數（這種函數稱為連續可微）及 F(g(x)) 為連續，為一充分的條件），我們有

，

因此

，C 為常數 。

若令 ，即得

，

其中 F 為 f 之一反導數。若再令 ，

則

。

上式即稱為積分公式之變數代換，其中垂線下寫一 表積分後 u 要以 g(x) 取代。

  a

例 1. 求 下述各不定積分。

（1） ，

（2） ，

（3）。   

  a

例 2. 求下述各定積分。

（1） ，

（2）。    

  a

  a

若在積分範圍 中， 皆全為正或全為負，即此時 g 為一由 x 至 u 之嚴格單調的變換。因此反函數 存在，且

。

但若 g 不為嚴格單調的變換，便可能產生錯誤了。

  a

例 3. 求 。     

  a

例 4. 求 。     

  a

進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 變數代換法。微積分講義第三章，國立高雄大學應用數學系。