微積分基本定理

        微積分基本定理建立起微分與積分的關係，由此關係可看出，微分與積分類似兩個互為可逆的運算，如平方及開方。若將一連續函數積分，得到一新的函數（為原來函數之不定積分），再將此新函數微分，可得回原來的函數。如取，則

為 f 之一不定積分，再經微分後得。

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        上述定理指出，在適當的條件下（即 f 在 x 要連續），若欲將一函數積分後所得之新函數再微分，則可省卻一開始之積分過程，新函數在 x 之導數即為原來函數在 x 之值。

例 1.求連續函數 f 使其滿足

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         例如，sine 函數為 cosine 函數在任一區間之一反導數（因 ）。一函數之反導數並不唯一，此因若找到 f 之一反導數 F，則 F+C，其中 C 為一常數，亦為 f 之一反導數。也就是同一函數之二反導數的差為一常數。

        微積分基本定理的第一部份告訴我們，對一連續函數，經由積分，可得其一反導數。此結果再加上任二反導數之差為一常數，便得微積分基本定理的第二部分。

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即 f 在 [s , x] 上之積分，若能找到 f 之一反導數 F，便立即可得了。

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例 2. 以求反導數的方法求，其中為有理數。 

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進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 微積分基本定理。微積分講義第三章，國立高雄大學應用數學系。