合成函數及隱函數之微分

        對幾個可微分函數，我們已可處理其四則運算之微分。但對合成函數（許多函數皆以合成函數的形式出現），簡單的如 尚可由定義直接求其導數，較複雜的如 怎麼辦？在此我們將給一關於合成函數微分之定理，稱為連鎖規則。

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        上述定理也很容易可推廣至三個甚至任意有限個函數之合成的情況。例如，設 ，且設皆存在，其中。則存在，且

。

或寫成

。

或令 ，則有下述萊布尼茲的記號：

。

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例 1. 求下述函數之微分。

（1），

（2），

（3）。    

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例 2. 設 。令 ，求 。   

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        其次我們來看隱函數之微分。大部分我們曾討論過的函數皆可以一方程式表示出，如。但並非每一函數皆可明確地定義出，如，就不是很容易地可解出以 x 來表示 y。不過仍有可能存在一函數 f，使得

，

對每一在 f 之定義域的 x 存在。此時我們便說該方程式隱含地定義出一函數。

        隱函數之微分往往可不經由解出該函數而得，這過程便稱之為隱函數之微分。

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例 3. 設，利用隱函數微分法求，並給出過點 ( 3, 1 )之切線方程式。   

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        利用隱函數之微分，也可求反函數之導數。設為一 1-1 函數，且 存在。以 g 表 f 之反函數，即對 y 屬於某一集合，，且

，

或

，

只要。由此可知，在某種意義下，一函數之導數與其反函數之導數互為倒數。

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例 4. 設，求其反函數之微分。   

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進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 合成函數及隱函數之微分。微積分講義第二章，國立高雄大學應用數學系。