導數的定義及基本性質

　

        微分中的最主要想法就是導數的概念。如同積分是起源於幾何問題中的求面積，導數也是起源於幾何學中。例如，求在平面上通過一曲線上某點之切線斜率。但不像積分起源的如此早，遲至十七世紀初費馬欲決定某些函數之極大及極小值，才有了導數的概念。　

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定義. 函數 f 在 x 之導數，以 *表之，其定義為

，

只要上述極限存在。*又稱 f 在 x 之變化率。若上式之極限存在，便稱 f 在 x 可微。若 f 在定義域中每點皆可微，則 稱f 為一可微函數，或說 f 可微。若 f 在 x連續，則，，分別稱為 f 在 x 之右導數及左導數，二者也皆稱為單側導數。又若，且 ，則稱 f 在 x 之導數（因∞並非一實數，故此時導數並不存在）。同理可定義。

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例 1. 依定義求下列各函數之導數，並寫出 之定義域。 

（1） ，（2） ，（3） 。 

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例 2. 依定義求下列各函數之導數。 

（1） ，其中 n 為一正整數。

（2） 。 

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例 3. 令 ，求 。   

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定理. 設函數 f 在 x 可微，則 f 在 x 連續。

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        可微是一個比連續還強的條件，若知一函數在某點可微，便知此函數在該點亦連續。一在某點 x 可微之函數經微分後所得之函數，不一定仍在 x 可微，甚至也不一定在 x 連續。導數為一新的函數，原來函數有的性質導數不一定會有。

         導數也可由幾何來解釋。 ，表在  之圖形上，連接 ( a, f (a)) 與 ( a+h, f (a+h)) 二點之直線（稱為割線）之斜率。令 ，也就是讓 a+h 一直接近 a，若前述割線斜率之極限存在，則極限時的割線就視為在 ( a, f (a)) 之切線。

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定義. 在 y = f (x) 之圖形上，過一點 ( a, f (a)) 之切線為

（1）過 ( a, f (a)) 且斜率為*之直線，若*存在；

（2）直線 x = a，若 。

除了（1）或（2）的情形，圖形在 ( a, f (a)) 之切線不存在。

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       在 之圖形上，過點 ( 0, 0 ) 之切線方程式為 x = 0。另外，不難看出在上述定義中（1）的情況，切線方程式為

。

至於在 ( a, f (a)) 之法線的定義為過 ( a, f (a)) 且與切線垂直之直線。故若，則法線斜率為，且方程式為

。

若 f '(a) = 0，則法線為垂直線 x=0；若切線為垂直線 x=0，則法線為水平線 y = f (a)。

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例 4.求在 之圖形上，過點 ( 2, 4 ) 之切線及法線。 

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定理. 設二函數 f、g 有相同之定義域，且設 f、g 皆在某一點 x 可微。則 f + g , f -g , f g , f / g 皆在 x 可微（對於 f / g ，g(x) 須不為0）。又此時 

（1） ，

（2） ，

（3） ，

（4） 。

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例 5.（1）設 ， ， ，求 。

          （2） 設 ， ，其中 為一有理數，求 。

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例 6.設

求 。 

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        本單元最後，我們對微分的符號做一些補充說明。

        前面採用的記號為 Lagrange (1736-1812) 在十八世紀末所引進。此記號強調微分後得到一新的函數，而在 x 之值以表之。若令，則也可用來表示導數。由於仍為一函數，故對再微分可得到二階導數。而之導數便是三階導數，即。一般而言，或以表之。只要所得之函數仍可微，便可繼續微分，而得下一階導數，這些統稱高階導數。Lagrange 的符號與牛頓所採用的差異並不大。在某些地方，如物理上的速度及加速度仍採用牛頓的符號。

        另外尚有一些符號，如在西元1800年，Arbogast (1759-1803)，以表 f 之導數，此符號也普遍地被使用。符號 D 便稱為一微分運算，此符號告訴我們為一由 f 經微分後得到的新函數。高階導數則以表之。而在 x 之值以 表之。但要留意，為二次微分，而不是。

        萊布尼茲發展出一套與前面所提迴然不同的符號。令，他以

表示，並稱之為差分商，即以表，表 h。符號稱為差分運算。在極限時，即令*，差分商趨近至，萊布尼茲以 表此極限，即

。

利用萊布尼茲的符號，有下述表示法：

。

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進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 導數的定義及基本性質。微積分講義第二章，國立高雄大學應用數學系。