導數的定義及基本性質
微分中的最主要想法就是導數的概念。如同積分是起源於幾何問題中的求面積,導數也是起源於幾何學中。例如,求在平面上通過一曲線上某點之切線斜率。但不像積分起源的如此早,遲至十七世紀初費馬欲決定某些函數之極大及極小值,才有了導數的概念。 a
a 例 1. 依定義求下列各函數之導數,並寫出 之定義域。 a 例 2. 依定義求下列各函數之導數。 (1) ,其中 n 為一正整數。 a a
a 可微是一個比連續還強的條件,若知一函數在某點可微,便知此函數在該點亦連續。一在某點 x 可微之函數經微分後所得之函數,不一定仍在 x 可微,甚至也不一定在 x 連續。導數為一新的函數,原來函數有的性質導數不一定會有。 導數也可由幾何來解釋。 ,表在 之圖形上,連接 ( a, f (a)) 與 ( a+h, f (a+h)) 二點之直線(稱為割線)之斜率。令 ,也就是讓 a+h 一直接近 a,若前述割線斜率之極限存在,則極限時的割線就視為在 ( a, f (a)) 之切線。 a
a 在 之圖形上,過點 ( 0, 0 ) 之切線方程式為 x = 0。另外,不難看出在上述定義中(1)的情況,切線方程式為 。 至於在 ( a, f (a)) 之法線的定義為過 ( a, f (a)) 且與切線垂直之直線。故若,則法線斜率為,且方程式為 。 若 f '(a) = 0,則法線為垂直線 x=0;若切線為垂直線 x=0,則法線為水平線 y = f (a)。 a 例 4.求在 之圖形上,過點 ( 2, 4 ) 之切線及法線。 a
a 例 5.(1)設 , , ,求 。 a 例 6.設
a 本單元最後,我們對微分的符號做一些補充說明。 前面採用的記號為 Lagrange (1736-1812) 在十八世紀末所引進。此記號強調微分後得到一新的函數,而在 x 之值以表之。若令,則也可用來表示導數。由於仍為一函數,故對再微分可得到二階導數。而之導數便是三階導數,即。一般而言,或以表之。只要所得之函數仍可微,便可繼續微分,而得下一階導數,這些統稱高階導數。Lagrange 的符號與牛頓所採用的差異並不大。在某些地方,如物理上的速度及加速度仍採用牛頓的符號。 另外尚有一些符號,如在西元1800年,Arbogast (1759-1803),以表 f 之導數,此符號也普遍地被使用。符號 D 便稱為一微分運算,此符號告訴我們為一由 f 經微分後得到的新函數。高階導數則以表之。而在 x 之值以 表之。但要留意,為二次微分,而不是。 萊布尼茲發展出一套與前面所提迴然不同的符號。令,他以
表示,並稱之為差分商,即以表,表 h。符號稱為差分運算。在極限時,即令,差分商趨近至,萊布尼茲以 表此極限,即 。 利用萊布尼茲的符號,有下述表示法: 。 a 進一步閱讀資料:黃文璋(2002). 導數的定義及基本性質。微積分講義第二章,國立高雄大學應用數學系。 |