不定積分

　

        設函數 f 在區間 [a, b] 可積， 。首先我們知道，函數 f 在區間 [a, b] 之積分，與 a 及 b 有關，亦即 為 a, b 之函數。為了更進一步瞭解前述積分與積分區間之關係，我們考慮 f 在 [a, x] 之積分，其中 ，且令函數 A 為

。

函數 A 稱為 f 之一不定積分。

        一函數 f 及其不定積分有一簡單的幾何關係。不定積分 A(x) 表在曲線 y = f (u) 與 u 軸之間由 u = a 至 x 間之『面積』。即 f 會取正值及負值， A(x) 表在 u 軸上方之面積減掉 u 軸下方之面積。

        數學中，有許多函數是以某一函數之一不定積分的形式出現，利用不定積分也可造出不少有用的新函數。

a

定理. 設有界函數 f 在 [a, b] 可積，且對，函數 A 之定義為

。

則 A 在 為連續（在 p = a 或 p = b 則為單側連續）。

a

例 1. 求下述積分。

（1） ，

（2） 。 

a

定義. 若對 ，且 ，函數 g 滿足

，   

其中 ，則稱 g 在 [a, b] 為凸函數。而若上式中之不等式反過來，則稱 g 在 [a, b] 為凹函數。

a

定理. 設 f 為 [a, b] 上之一可積函數。令 ， 。

（1）設 f 為增函數，則 A 為凸函數；

（2）設 f 為減函數，則 A 為凹函數。

a

進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 不定積分。微積分講義第二章，國立高雄大學應用數學系。