3.7多維分佈

多維分佈

前幾節我們主要討論兩個變數之多維分佈。一般當然有維的隨機向量 $(X_1,\cdots,X_n)$ , $n\geq 2$ 。我們以粗體的 $\mbox{\it\textbf{X}}$ 表隨機向量 $(X_1,\cdots,X_n)$ , 而以粗體的 $\mbox{\it\textbf{x}}$ 表觀測值 $(x_1,\cdots,x_n)$ 。

　　隨機向量 ${\mbox{\it\textbf{X}}}=(X_1,\cdots,X_n)$ 以之一子集為其樣本空間。若 $\mbox{\it\textbf{X}}$ 為一離散型的隨機向量, 則其聯合p.d.f.為

$\begin{eqnarray*} f(\mbox{\it\textbf{x}})&=&f(x_1,\cdots,x_n) \\ &=&P(X_1=x_1,\cdots,X_n=x_n), (x_1,\cdots,x_n)\in R^n\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$

因此對任意 $A\subset R^n$ ,

(7.1)

若 $\mbox{\it\textbf{X}}$ 為一連續型的隨機向量, 則其聯合p.d.f.為一滿足下述條件的函數 $f(x_1,\cdots,x_n)$ :

$\displaystyle P(\mbox{\it\textbf{X}}\in A)=\int \cdots \int_A f(x_1,\cdots,x_n)dx_1 \cdots dx_n\raisebox{-1.2mm}{。}$

(7.2)

　　令 $g(\mbox{\it\textbf{x}})=g(x_1,\cdots,x_n)$ 為一實值函數。則 $g(\mbox{\it\textbf{X}})$ 為一隨機變數, 且對連續型及離散型, 其期望值分別為

$\displaystyle E(g(\mbox{\it\textbf{X}}))=\int_{-\infty}^{\infty}\cdots \int_{-\... ...y}^{\infty}g(\mbox{\it\textbf{x}})f(\mbox{\it\textbf{x}})d\mbox{\it\textbf{x}},$	(7.3)
	(7.4)

　　除了積分改為在上, 上述這些定義與二變數時的情況類似。另外, 有時為了簡便, 僅寫成 “ $X_1,\cdots,X_n$ 之聯合p.d.f.”, 省去 $\mbox{\it\textbf{X}}$ , 對 $X_1,\cdots,X_n$ 也可不用加括號。

　　 $(X_1,\cdots,X_n)$ 之任一子集的邊際p.d.f., 可將聯合p.d.f.對其餘變數之所有可能的值積分或相加而得。例如, 首個變數 $(X_1,\cdots,X_k), 1\leq k<n$ , 之邊際p.d.f.為

$\displaystyle f(x_1,\cdots,x_k)=\int_{-\infty}^{\infty}\cdots \int_{-\infty}^{\infty}f(x_1,\cdots,x_n)dx_{k+1}\cdots dx_n,$

(7.5)

或

$\displaystyle f(x_1,\cdots,x_k)=\sum_{(x_{k+1},\cdots,x_n)\in R^{n-k}}f(x_1,\cdots,x_n)\raisebox{-1.2mm}{。}$

(7.6)

條件分佈也可類似地定義。如

$\displaystyle f(x_{k+1},\cdots,x_n\vert x_1,\cdots,x_k)=\frac{f(x_1,\cdots,x_n)}{f(x_1,\cdots,x_k)}\raisebox{-1.2mm}{。}$

(7.7)

如果為了更清楚, 可將上式左側寫成

$\begin{displaymath}f_{X_{k+1},\cdots,X_n\vert X_1,\cdots,X_k}(x_{k+1},\cdots,x_n\vert x_1,\cdots,x_k),\end{displaymath}$

特別是當 ${x_i}$ '為給定數值的時候。

例 1. 設取整數值隨機變數之聯合p.d.f.為

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=\frac {1}{216}, 1\leq x\leq 6, x+1\leq y\leq x+6, y+1\leq z\leq y+6\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$

試驗證為一p.d.f., 並求 $f_{Z\vert X,Y}(z\vert x,y)$ 及 $f_{Z\vert Y}(z\vert y)$ 。

例 2. 設之聯合p.d.f.為

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=z^2e^{-z(1+x+y)},x,y,z\geq 0\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$

試驗證為一p.d.f., 並求給定之下, 與為條件獨立, 且皆有 ${\cal E}(z)$ 分佈。　

　　多項分佈為二項分佈之一推廣, 此為一重要的多維分佈。在此設為正整數, 且常數 $p_1,\cdots,p_k$ 滿足 $0\leq p_i \leq 1, i=1,\cdots,k, \sum_{i=1}^k p_i=1$ 。則隨機向量 $(X_1,\cdots,X_k)$ 稱為有參數 $n,p_1,\cdots,p_k$ 之多項分佈, 以 ${\cal M}(n,p_1,\cdots,p_k)$ 表之, 若 $(X_1,\cdots,X_k)$ 之聯合p.d.f.為

$\displaystyle f(x_1,\cdots,x_k)=\frac{n!}{x_1!\cdots x_k!}p_1^{x_1}\cdots p_k^{x_k},$

(7.10)

其中 $x_1,\cdots,x_k$ 為非負整數, 且 $\sum_{i=1}^k x_i=n$ 。通常取, $i=1,\cdots,k$ 。

　　二項分佈可描述一有兩個不同的結果之試驗。有些試驗有超過兩個的結果, 這時多項分佈便可派上用場。可看出二項分佈為多項分佈之一特例:

$\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2)=\frac{n!}{x_1!x_2!}p_1^{x_1}p_2^{x_2}={n \choose {x_1}}p_1^{x_1}{(1-p_1)}^{n-x_1}\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$

只是因時, 由於, 知道後, 便決定了, 所以對的情況, 便僅簡單地以

$\begin{eqnarray*} f(x)={n \choose x}p^x(1-p)^{n-x}, x=0,1,\cdots,n, \end{eqnarray*}$

表之p.d.f.。在第二章例2.11, 將個球隨機地丟進個箱子中, 若將箱子編號1至, 且令 $X_1,\cdots,X_n$ 表各箱中之球數, 則 $(X_1,\cdots,X_n)$ 便有 $\mathcal{M}(n,\linebreak 1/n,\cdots ,1/n)$ 分佈。底下再給一例。

例 3. 投擲一四面體10次, 設四面為, 其出現的機率分別為及。試求面分別出現1次,2次,3次及4次之機率。

在(7.10)式中,

$\displaystyle \frac{n!}{x_1!\cdots x_k!}={n\choose {x_1,\cdots,x_k}}, \sum_{i=1}^k x_i=n, x_1,\cdots,x_k\geq 0,$

(7.11)

此即1.1節所定義的多項係數。多項係數就是個事物分成類, 第1類有個, 第2類有個, $\cdots$ , 第類有個, 總共之分法。而2.2.2節之二項式定理, 也可推廣至多項式定理:

　　設為二正整數, 則對任意實數 $a_1,\cdots,a_k$ ,

$\displaystyle {(a_1+\cdots+a_k)}^n=\sum\frac{n!}{x_1!\cdots x_k!}a_1^{x_1}\cdots a_k^{x_k},$

(7.12)

其中和是對所有為非負整數, 且 $\sum_{i=1}^k x_i=n$ 而相加。有了多項式定理, 才保證(7.10)式所定義出的確為一維的p.d.f.。

　　對多項分佈, 其邊際分佈, 及條件分佈, 直觀上便可以得到。說明如下:

　　考慮, 若將第種結果視為成功, 其餘結果皆視為失敗, 則為個伯努力試驗成功的次數, 每次成功的機率皆為。因此, 應有 ${\cal B}(n,p_k)$ 分佈。這點利用(7.6)式便可證明。對 $x_k\in\{0,1,\cdots,n\}$ , 我們必須將聯合p.d.f.對所有可能的 $(x_1,\cdots,x_{k-1})$ 相加。即對所有非負整數的 $x_1,\cdots,\linebreak x_{k-1}$ , 且 $\sum_{i=1}^{k-1}x_i=n-x_k$ 相加。以表此集合。則

因 $x_1+\cdots+x_{k-1}=n-x_k$ , 且 $p_1+\cdots+p_{k-1}=1-p_k$ , 利用多項式定理, 上述和 $=(p_1+\cdots+p_{k-1})^{n-x_k}=(1-p_k)^{n-x_k}$ 。故得

$\begin{eqnarray*} f(x_k)=\frac{n!}{x_k!(n-x_k)!}p_k^{x_k}(1-p_k)^{n-x_k}\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$

因此有 ${\cal B}(n,p_k)$ 分佈。

　　同理可得證每一皆有 ${\cal B}(n,p_i)$ 分佈, $1\leq i \leq k$ 。

　　給定, 則相當於有次試驗, 而可能有個可能的結果, $(X_1,\cdots,X_{k-1})$ 表次試驗後, 各結果出現的次數。因此直觀上, 給定之下, $(X_1,\cdots,X_{k-1})$ 應仍有多項分佈。這是對的, 利用(7.7)式得

$\begin{eqnarray*} &&f(x_{1},\cdots,x_{k-1}\vert x_k)=\frac{f(x_{1},\cdots,x_{k})... ...x_1}\cdots(\frac{p_{k-1}}{1-p_k})^{x_{k-1}}\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$

故 $X_{1},\cdots,X_{k-1}\vert X_k=x_k$ 有 ${\cal M}(n-x_k,p_1/(1-p_k),\cdots,p_{k-1}/(1-p_k))$ 。

　　事實上, 對任一 $(X_{1},\cdots,X_{k})$ 之一子集合, 在給定其餘之值下, 皆有多項分佈。例如,

　　其次我們介紹隨機向量獨立的概念。
　　

定義1.設 $\mbox{\it\textbf{X}}_1,\cdots,\mbox{\it\textbf{X}}_n$ 為隨機向量, 以 $f(\mbox{\it\textbf{x}}_1,\cdots,\mbox{\it\textbf{x}}_n)$ 為其聯合p.d.f., 且 $\mbox{\it\textbf{X}}_{i}$ 之邊際p.d.f.為 $f_{\mbox{\footnotesize\it\textbf{X}}_i}(\mbox{\it\textbf{x}}_i)$ , $i=1,\cdots,n$ 。則若對 $\forall(\mbox{\it\textbf{x}}_1,\cdots,\mbox{\it\textbf{x}}_n)$ , 皆有

$\begin{eqnarray*} f(\mbox{\it\textbf{x}}_1,\cdots,\mbox{\it\textbf{x}}_n)=\prod_... ...f_{\mbox{\footnotesize\it\textbf{X}}_i}(\mbox{\it\textbf{x}}_i), \end{eqnarray*}$

便稱 $\mbox{\it\textbf{X}}_1,\cdots,\mbox{\it\textbf{X}}_n$ 為相互獨立的隨機向量。若所有 $\mbox{\mathversion{bold}{$X$}}_i$ 皆為一維, 則稱 $X_1,\linebreak\cdots, X_n$ 為相互獨立的隨機變數。

　　如前, 相互獨立如果不會混淆的話, 有時只稱獨立。若 $X_1,\cdots,X_n$ 為相互獨立, 則知道其中幾個變數之值, 對其餘變數, 不能提供任何資訊。即利用定義 1, 可證明給定 $(X_{i_1},\cdots,X_{i_k})$ , 其中 $\{X_{i_1},\cdots,X_{i_k}\}$ 為 $\{X_1,\cdots,X_n\}$ 之一子集, 其餘隨機變數之條件分佈, 與邊際分佈相同, 未做任何改變。

　　相互獨立導致每對獨立。即若 $X_1,\cdots,X_n$ 相互獨立, 則任二 $X_i,X_j,i\neq j$ , 亦獨立。但相互獨立比每對獨立還強, 即有可能每對獨立, 但不相互獨立。亦可參考第一章例2.4, 事件的每對獨立, 卻不相互獨立的例子。

　　相互獨立的隨機變數, 有許多好的性質。底下幾個定理, 其證明均類似在3.2節及3.3節中, 兩個變數情況中對應的定理, 因此我們均略去證明。
　　

定理 1.(定理2.2(ii)之推廣). 設 $X_1,\cdots,X_n$ 為相互獨立的隨機變數, 且函數 $g_j(X_j),j=1,\cdots,n$ , 滿足存在。則

$\displaystyle E(g_1(X_1) \cdots g_n(X_n))=\prod_{j=1}^{n}E(g_j(X_j))\raisebox{-1.2mm}{。}$

(7.13)

定理 2.(定理2.3(ii)之推廣). $X_1,\cdots,X_n$ 為相互獨立的隨機變數, 若且唯若

$\displaystyle E(e^{it_1X_1+\cdots+it_nX_n})=\prod_{j=1}^n E(e^{it_jX_j}),t_j \in R,j=1,\cdots,n\raisebox{-1.2mm}{。}$

(7.14)

系理 1.設 $X_1,\cdots,X_n$ 為相互獨立的隨機變數。令 $Z=X_1+\cdots+X_n$ , 則

$\displaystyle E(e^{itZ})=\prod_{j=1}^n E(e^{itX_j}),t\in R\raisebox{-1.2mm}{。}$

(7.15)

特別地, 若 $X_1,\cdots,X_n$ 有相同的分佈, 則

$\begin{eqnarray*} E(e^{itZ})=(E(e^{itX_1}))^n, t\in R\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$

　　定理 2及系理 1, 亦有母函數, 拉普拉斯轉換及動差母函數之版本。

　　定理2.4可以推廣至個獨立隨機變數的情況。我們只給gamma分佈的結果。

例 4. 設 $X_1,\cdots,X_n$ 為相互獨立的隨機變數, 且有 $\Gamma(\alpha_i,\beta)$ 分佈, $i=1,\cdots,n$ 。則 $\sum_{i=1}^nX_i$ 有 $\Gamma(\sum_{i=1}^{n}\alpha_i,\beta)$ 分佈。

例 5. 設 $X_1,\cdots,X_n$ 為相互獨立的隨機變數, 分別有動差母函數 $M_{X_i}(t),\linebreak t\in R, i=1,\cdots,n$ 。又設 $a_1,\cdots,a_n,b_1,\cdots,b_n$ 為常數。令 $Z=\sum_{i=1}^n(a_iX_i\linebreak +b_i)$ 。則之動差母函數為

$\begin{eqnarray*} M_Z(t)&=&E(e^{tZ})\\ &=&E(e^{t\sum_{i=1}^n(a_iX_i+b_i)})\\ &... ...}^n b_i}\prod_{i=1}^n M_{X_i}(a_it), t\in R\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$

　　利用上例, 可得獨立的常態分佈, 其線性組合之和仍為常態分佈。

例 6. 設 $X_1,\cdots,X_n$ 為相互獨立的隨機變數, 分別有 ${\cal N}(\mu_i,\sigma_i^2)$ 分佈, $i=1,\cdots,n$ 。令 $a_1,\cdots,a_n,b_1,\cdots,b_n$ 為常數。則 $Z=\sum_{i=1}^n(a_iX_i+b_i)$ 有 ${\cal N}(\linebreak\sum_{i=1}^n(a_i\mu_i+b_i),\sum_{i=1}^n a_i^2\sigma_i^2)$ 分佈。

　　底下為判定個隨機向量相互獨立的一個定理, 為定理2.1之推廣。
　　

定理 3.設 $\mbox{\it\textbf{X}}_1,\cdots,\mbox{\it\textbf{X}}_n$ 為隨機向量。則 $\mbox{\it\textbf{X}}_1,\cdots,\mbox{\it\textbf{X}}_n$ 為相互獨立, 若且唯若存在函數 $g_i(\mbox{\it\textbf{x}}_i),i=1,\cdots,n$ , 使得 $(\mbox{\it\textbf{X}}_1,\cdots,\mbox{\it\textbf{X}}_n)$ 之聯合p.d.f.可寫成

$\begin{eqnarray*} f(\mbox{\it\textbf{x}}_1,\cdots,\mbox{\it\textbf{x}}_n)=g_1(\m... ...bf{x}}_1)\cdots g_n(\mbox{\it\textbf{x}}_n)\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$

　　底下為定理3.2之推廣。
　　

定理 4.設 $\mbox{\it\textbf{X}}_1,\cdots,\mbox{\it\textbf{X}}_n$ 為獨立的隨機向量。令 $g_i(\mbox{\it\textbf{x}}_i)$ 為 $\mbox{\it\textbf{x}}_i$ 的函數, $i=1,\cdots,\linebreak n$ 。則 $U_i=g_i(\mbox{\it\textbf{X}}_i),i=1,\cdots,n$ , 為相互獨立。

　　維隨機向量的變數代換, 只是二維隨機向量變數代換之一立即的推廣。例如, 在做變換時, 雅可彬為一 $n\times n$ 矩陣之行列式的值。

　　底下我們給一定理3.1之推廣。

例 7. 設為相互獨立, 分別有 $\Gamma(p,\lambda),\Gamma(q,\lambda)$ 及 $\Gamma(r,\lambda)$ 分佈。令

$\begin{displaymath}U=\frac{X}{X+Y},\quad V=\frac{X+Y}{X+Y+Z},\quad W=X+Y+Z\raisebox{-1.2mm}{。}\end{displaymath}$

則相互獨立, 且分別有 ${\cal B}e(p,q),{\cal B}e(p+q,r)$ 及 $\Gamma(p+q+r,\lambda)$ 分佈。

　　事實上此結果可推廣到維的情況, 見第五章例3.11。

　　底下為一有關隨機變數之和的期望值及變異數的定理。
　　

定理 5.設有隨機變數 $X_1,\cdots,X_n$ , $Y_1,\cdots,Y_m$ 。

(i) 若皆存在, $i=1,\cdots,n$ , 則對任意常數 $a_1,\cdots,a_n$ ,

$\displaystyle E(\sum_{i=1}^n a_iX_i)=\sum_{i=1}^n a_i E(X_i)\raisebox{-1.2mm}{。}$

(7.16)

(ii) 若 $\mbox{Var}(X_i)$ 皆存在, $i=1,\cdots,n$ , 則對任意常數 $a_1,\cdots,a_n$ ,

$\displaystyle \mbox{Var}(\sum_{i=1}^n a_i X_i)=\sum_{i=1}^n a_i^2 \mbox{Var}(X_i)+2\sum_{i<j} a_i a_j \mbox{Cov}(X_i,X_j);$

(7.17)

若 $X_1,\cdots,X_n$ 為每對獨立, 則

$\displaystyle \mbox{Var}(\sum_{i=1}^n a_i X_i)=\sum_{i=1}^n a_i^2 \mbox{Var}(X_i)\raisebox{-1.2mm}{。}$

(7.18)

(iii) 若 $\mbox{Var}(X_i)$ 及 $\mbox{Var}(Y_j)$ 皆存在, $i=1,\cdots,n$ , $j=1,\cdots,m$ , 則對任意常數 $a_1,\cdots,a_n$ , $b_1,\cdots,b_m$ ,

$\displaystyle \mbox{Cov}(\sum_{i=1}^n a_i X_i, \sum_{j=1}^m b_j Y_j)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_i b_j\mbox{Cov} (X_i, Y_j)\raisebox{-1.2mm}{。}$

(7.19)

　　有些本來期望值或變異數不太容易計算的隨機變數, 若能表示成一些隨機變數的和, 則可利用定理 5求之。我們給一些例子如下。

例 8. 在2.2.2節我們曾指出, 若 $Y_1,\cdots , Y_n$ 為有獨立的 $\mathcal{B}er(p)$ 分佈之隨機變數, 則 $X=Y_1+\cdots+Y_n$ 有 $\mathcal{B}(n,p)$ 分佈。分別求出 $\mbox{\it\textbf{X}}$ 之期望值和變異數。

例 9. 利用機器將個人的薪資單放進封貼有名字的信封, 由於作業錯誤, 變成隨機地將薪資單放進信封, 每個信封恰放進一份薪資單。令表放對的信封數, 求及 $\mbox{Var}(N)$ 。

例 10. 將個球隨機地放進個箱子中。則空箱數之期望值為何?

例 11. 某食品公司為了促銷其產品, 在每盒餅乾中均隨機地放一張風景卡片, 且設總共有張不同的卡片。

(i)若每次只買一盒, 欲收集齊全張卡片所需買的盒數之期望值。

(ii)若一次買很多盒, 譬如說盒, 則其中會包含多少張不同的卡片呢?

　　在2.2.5節我們曾介紹超幾何分佈, 但並未說明期望值及變異數是如何推導出來的。直接計算可能較繁瑣, 利用多變數倒是可求出來。見下例。

例 12. 設有 ${\cal H}(N,D,n)$ 分佈, 即之p.d.f.為

$\displaystyle \quad f(x)=\frac {{D\choose x}{{N-D}\choose {n-x}}}{{N\choose n}},\max\{0,n-N+D\}\leq x\leq \min\{n,D\}\raisebox{-1.2mm}{。}$

(7.22)

求之期望值及變異數。

　　若令, 則有 ${\cal H}(N,Np,n)$ 分佈, 有 ${\cal B}(n,p)$ 分佈。由上例推導知, 當固定且令 $N\rightarrow \infty$ , 則 $\mbox{Var}(X) \rightarrow np(1-p)=\mbox{Var}(Z)$ 。這是可以預期的。因當母體數很大, $Y_1,\cdots , Y_n$ 便近似獨立, 因此可以 ${\cal B}(n,p)$ 為其近似分佈。在做各種民意調查時, 選民總數往往很大, 且樣本數與相比很小, 而想估計選民中對某候選人之支持率。此時常近似地以較簡單的二項分佈 ${\cal B}(n,p)$ , 當做樣本中對該候選人之支持人數的分佈, 而原本是有 ${\cal H}(N,Np,n)$ 分佈的。事實上可以證明 $N\rightarrow \infty$ 時(且固定)

$\begin{eqnarray*} P(X=k)\rightarrow P(Z=k)\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$

當然若與相比並非很小, 就不適合以 ${\cal B}(n,p)$ 分佈當做 ${\cal H}(N,Np,n)$ 分佈之近似。

　　對隨機向量 $\mbox{\mathversion{bold}{$X$}}=(X_1,\cdots,X_n)$ , 令 $\mbox{\mathversion{bold}{$\mu$}}_{\mbox{\scriptsize\mathversion{bold}{$X$}}}$ 及 $\mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}}_{\mbox{\scriptsize\mathversion{bold}{$X$}}}$ 分別表其期望向量及共變異數矩陣, 也可僅以 $\mbox{\mathversion{bold}{$\mu$}}, \mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}}$ 表之, 其中

$\begin{eqnarray*} && \mbox{\mathversion{bold}{$\mu$}}=(\mu_1,\cdots,\mu_n),\\ &... ...s & \vdots\cr \sigma_{n1} & \sigma_{n2} & \cdots & \sigma_n^2 }, \end{eqnarray*}$

而

$\begin{eqnarray*} && \mu_{i}=E(X_i), i=1,\cdots,n,\\ && \sigma_i^2=\mbox{Var}(X... ...a_{ji}=\mbox{Cov}(X_i, X_j), i,j=1,\cdots,n\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$

令

$\begin{eqnarray*} \rho_{ij}=\rho(X_i, X_j), i,j=1,\cdots,n\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$

則

$\begin{eqnarray*} \sigma_{ij}=\mbox{Cov}(X_i,X_j)=\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j, i,j=1,\cdots,n\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$

故 $\mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}}$ 亦可寫成

　　對一列向量 $\mbox{\mathversion{bold}{$a$}}=(a_1,\cdots,a_n)$ ,

$\begin{eqnarray*} \mbox{\mathversion{bold}{$a$}}^{'}=\pmatrix{ a_1\cr \vdots\cr a_n}, \end{eqnarray*}$

$\mbox{\mathversion{bold}{$a$}}^{'}$ 即為 $\mbox{\mathversion{bold}{$a$}}$ 之轉置, 為一行向量。則

$\begin{eqnarray*} && (\mbox{\mathversion{bold}{$X$}}-\mbox{\mathversion{bold}{$\... ..._1-\mu_1) & \cdot & \cdots & (X_n-\mu_n)^2}\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$