對數

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        對函數，若存在一多項式 ，其中皆為實係數多項式，且不全為 0，使得對每一之定義域中的，，則稱為代數函數，不是代數函數便稱為超越函數。例如，及皆為代數函數，因他們分別滿足及。超越函數主要有對數函數、指數函數、三角函數及反三角函數等。我們先討論對數函數。

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        對每一不等於 的有理數，利用微積分基本定理，可給出 ，即

。

至於時，上式顯然無法成立。但因對，為一連續函數，故在為可積，且其任一 Riemann 和皆會趨近至 。我們便以之一不定積分，引進對數函數，且令

，（1）

為之自然對數。

       函數對所有的皆有意義，並且為一連續且嚴格單調漸增之函數。至於在（1）式之右側，積分下限取為 1， 只是為了方便。如此會使

，

且，，，。而在區間，，之定積分則為

。

此積分表雙曲線函數，在圖形下由至的面積。

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利用此定理，可推導得

  (1) ， ；

  (2) ， ；

  (3) ， 。

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        在『歐拉數及圓周率』我們曾得到以 當時之極限，來引進常數 。事實上滿足

，（2） 

即在曲線之下，由 1 至的面積為 1。（2）式為之一特性，我們也可定義為滿足 之唯一的實數。      

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        其次來看對數函數之圖形。

        令 ，。則

。

故圖形為漸增且下凹，即圖形成長較緩慢。因對 ， 及 皆存在且不為 0，故無極值及反曲點。又 時，， 時，，得

， 。

因此圖形無水平漸近線，而為垂直漸近線。下圖為之圖形。

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則

。

若，則 ，故自然對數即以為底之對數。由於以為底的對數為自然對數除以一常數，因此由的圖形，只要每一縱座標除以因子，便可得到 的圖形。當，因，此因子為正，當，此因子為負。對，我們針對不同的給一些圖形如下。

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        再者來看如何利用對數函數求積分。

        因 ，，故有

。（3）

一開始我們便指出，除了之外的有理數， 的積分皆能給出。有了（3）式，對所有有理數，的不定積分皆知道了。由（3）式，若為連續可微（指有一連續的導數），則

。

因對數只定義在正數，因此上式只對才有效。若不恆為正將如何？

        首先若，則

。

若，

，

若 ，

。

即得

。

因此不論為正或負，

，

由此即得只要 ，且在為連續可微，

。（4）

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例 1. 求 。    

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例 2. 求 。    

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例 3. 求 。    

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例 4. 求 。    

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        最後我們來看，如何利用對數來簡化微分的計算。首先由（4）式得

。（5）

令 ，若 較 容易求，則（5）式導致

。

此法特別是當為一些簡單的函數之乘積時，最為有用。

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例 5.求 。    

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例 6.令 ，求。    

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進一步閱讀資料：黃文璋(2002).  對數。微積分講義第五章，國立高雄大學應用數學系。