微分之應用問題

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        至此我們可說已具備微分的基本工具。對所擬解決的一實際問題，我們就是要利用適當的已知結果，然後將該問題解出。

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例 1.用鋁片做容量之圓柱形罐，用什麼尺寸才可使材料最省。   

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例 2.（1）選取二非負數，使其和為 1，且平方和最大；

（2）選取二非負數，使其和為 1，且平方和最小。 

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例 3.在平面上有一拋物線，在軸上有一定點。求拋物線與 最接近的點。 

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例 4.某校應用數學系欲租遊覽車一部旅行。公司出租費的算法是，每車基本費 5000 元，每有名乘客須多付元。另外，旅館費定價每人 1000 元，每超過 40 人， 每人可少付超出人數 6 倍之減價優待（例： 45 人時，每人房錢 1000-6(45-40)=970）。遊覽車最多只能坐 60 位旅客。問旅客多少時，每人平均負擔最少？ 

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例 5.給定三角形之一邊長及面積，求其周長最小者。 

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例 6.設平面上有、二點在一直線之同一側。在此直線上求一點，使此點至， 二點之距離和最小。 

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例 7.設有一圓錐的桶子，高為 4 公尺，底半徑為 5 公尺，以每小時 3立方公尺的速率注水入其中。令表在時間水之高度，求時，。 

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例 8.某人坐在岸邊釣魚，岸離水面 30 呎。當釣到魚時，收釣線的速度為每秒 2 呎。求線長為 50 呎時，魚沿水面之速度。 

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例 9.設一飛機之高度為 7 哩，水平等速飛行速度為每分鐘 10 哩。某人在地面點觀測飛機，求當飛機距此人水平距離為 24 哩時，觀測角度之變化。 

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        在很多應用問題中，常會遇到需解方程式之根的時候。底下我們提供一找根之近似解的方法，稱之為牛頓法。

        設為一可微函數，我們想找之根。先找一接近根的數，以表之，此可利用勘根定理來尋找。欲找一更接近根的值，作過之圖形上的點之切線，並交軸於。切線之方程式為

。

令便求出截距，即

。

然後自出發，重複上述步驟，依序得 直至精確度為我們所滿意。不過，若起始值找得不好，依序得到的 可能離根很遠。

        又與有下述關係，這是牛頓法的遞迴公式。

。（1）

在適當的條件下，時，會趨近至之一根 (並且收歛得很快)。我們先看下圖。

設為之一根，如圖，若在附近，之圖形為上凹，則宜取在 的右側，如此才會愈來愈接近。其他的情形也很容易由圖形判斷取在何處較佳。

        設在之一鄰域中，連續，且、不為 0。因，泰勒展式為 (取，)

，

其中介於與間。將上式每一項各除以，得

，

由上式又得

，（2）

其中第一等式是由（1）式而來。

        與的正負情況共有四種組合，我們只討論其中一種，其餘三種情況的討論類似。

        假設在前述中，，則由（2）式知。若亦成立，則因為漸增，，故由（1）式又得。 因此 為一單調且有界的數列，因此存在，以表此極限值。次在（1）式中兩側令，得

。

即得由牛頓法得到的數列 的確會趨近至的一個根。

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        其次看牛頓法求根的誤差。

        首先由均值定理得 (利用)

，

其中介於與間。故若，其中為一常數，則

。

因當夠大時，很接近，因此很接近，故上式當夠大時，可用來作誤差之一很好的估計值。

        次由（2）式得

。

因此若，，其中、為二常數，則得

。

故若不大，由上式可看出趨近至的速度相當快。上式亦可做為誤差之估計。

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例 10.求 之一近似根。  

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例 11.令 。求 之近似值。

（1）用牛頓法做三次並估計誤差；

（2）若要誤差小於 ，問需以牛頓法做幾次？   

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例 12.求 之根至小數第三位。   

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進一步閱讀資料：黃文璋(2002).  微分之應用問題。微積分講義第四章，國立高雄大學應用數學系。