極限之不定形 a 在處理極限問題時,我們常會遇到所謂不定形。例如,求 , 而
。有時這種情況仍可輕易解決。例如,求
,不難看出極限值為 0。但有時就不是那麼容易了。例如,求 。 我們說明這些符號的意思。設有二函數 及 及一常數 , 。上述各種形式分別表
其中有些形式是等價的,基本上只有一種 的形式,其他幾種皆可化為的形式。不過因 的形式也常出現,我們通常就不特別地把的形式化為的形式。換句話說,我們主要考慮及二種形式。 a 底下我們引進一經由微分來求不定形極限的有用方法,即羅必達規則 (L'Hospital's rule )。羅必達規則的基本想法是由二函數之導數的商 之極限,來求 之極限。為什麼此二極限會有關係呢?我們略微說明,設及滿足 。則對 ,只要 ,下式成立: 。 若 及 存在,且 ,則當,上式之最右側趨近至 。因此時, 。 不過在羅必達規則中,事實上並不需要對、及 、 在點做任何假設。而只需假設當時, 及 皆趨近至0(在此是指對的不定形),且趨近至一有限的極限值。羅必達規則便是說,此時亦趨近至同一極限值。 a
a 上述定理是針對右極限。不難加以修正條件而得到一關於左極限(即 )或兩側極限(即)的結果。 a a 羅必達規則可再推廣。首先看關於 時,的極限。若令 ,則 , 其中 , , 。 a
a 基本上對或的不定形,在適當條件下, 。 且在使用羅必達規則時,若上式右側極限為 (或 ),則左側極限亦為(或)。 a 另外,有時也可利用上一節的泰勒展式來求不定形的極限。 a 進一步閱讀資料:黃文璋(2002). 極限之不定形。微積分講義第四章,國立高雄大學應用數學系。 |