極限之不定形

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        在處理極限問題時,我們常會遇到所謂不定形。例如,求

。有時這種情況仍可輕易解決。例如,求 ,不難看出極限值為 0。但有時就不是那麼容易了。例如,求
。一般而言,極限之不定形有下述幾種形式:

我們說明這些符號的意思。設有二函數 及一常數 。上述各種形式分別表

 

要求

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

(vi)

(vii)

 

其中有些形式是等價的,基本上只有一種 的形式,其他幾種皆可化為的形式。不過因 的形式也常出現,我們通常就不特別地把的形式化為的形式。換句話說,我們主要考慮二種形式。

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       底下我們引進一經由微分來求不定形極限的有用方法,即羅必達規則 (L'Hospital's rule )。羅必達規則的基本想法是由二函數之導數的商 之極限,來求 之極限。為什麼此二極限會有關係呢?我們略微說明,設滿足 。則對 ,只要 ,下式成立:

存在,且 ,則當,上式之最右側趨近至 。因此時,

        不過在羅必達規則中,事實上並不需要對 點做任何假設。而只需假設當時, 皆趨近至0(在此是指對的不定形),且趨近至一有限的極限值。羅必達規則便是說,此時亦趨近至同一極限值。

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定理. 設函數在開區間 * 可微, ,且設

又設 ,且

存在。則

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        上述定理是針對右極限。不難加以修正條件而得到一關於左極限(即 )或兩側極限(即)的結果。

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例 1. 。    

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例 2. 。    
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例 3. 。    
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        羅必達規則可再推廣。首先看關於 時,的極限。若令 ,則

其中

 

定理. 皆存在, ,其中 為一固定的正數。又設

。現若 存在,則可得 亦存在,且二極限值相等。

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       基本上對的不定形,在適當條件下,

且在使用羅必達規則時,若上式右側極限為 (或 ),則左側極限亦為(或)。

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例 4. 。    
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例 5. 。    
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例 6. 。    
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       另外,有時也可利用上一節的泰勒展式來求不定形的極限。 

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例 7. 。    
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進一步閱讀資料:黃文璋(2002).  極限之不定形。微積分講義第四章,國立高雄大學應用數學系。