極限之不定形

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        在處理極限問題時，我們常會遇到所謂不定形。例如，求

，

而 。有時這種情況仍可輕易解決。例如，求 ，不難看出極限值為 0。但有時就不是那麼容易了。例如，求
。一般而言，極限之不定形有下述幾種形式：

。

我們說明這些符號的意思。設有二函數 及 及一常數 ， 。上述各種形式分別表

其中有些形式是等價的，基本上只有一種 的形式，其他幾種皆可化為的形式。不過因 的形式也常出現，我們通常就不特別地把的形式化為的形式。換句話說，我們主要考慮及二種形式。

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       底下我們引進一經由微分來求不定形極限的有用方法，即羅必達規則 (L'Hospital's rule )。羅必達規則的基本想法是由二函數之導數的商 之極限，來求 之極限。為什麼此二極限會有關係呢？我們略微說明，設及滿足 。則對 ，只要 ，下式成立：

。

若 及 存在，且 ，則當，上式之最右側趨近至 。因此時， 。

        不過在羅必達規則中，事實上並不需要對、及 、 在點做任何假設。而只需假設當時， 及 皆趨近至0（在此是指對的不定形），且趨近至一有限的極限值。羅必達規則便是說，此時亦趨近至同一極限值。

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        上述定理是針對右極限。不難加以修正條件而得到一關於左極限（即 ）或兩側極限（即）的結果。

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例 1. 求 。    

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例 2. 求 。    
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例 3. 求 。    
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        羅必達規則可再推廣。首先看關於 時，的極限。若令 ，則

，

其中 ， ， 。

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       基本上對或的不定形，在適當條件下，

。

且在使用羅必達規則時，若上式右側極限為 （或 ），則左側極限亦為（或）。

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例 4. 求 。    
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例 5. 求 。    
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例 6. 求 。    
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       另外，有時也可利用上一節的泰勒展式來求不定形的極限。 

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例 7. 求 。    
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進一步閱讀資料：黃文璋(2002).  極限之不定形。微積分講義第四章，國立高雄大學應用數學系。