泰勒展開式 a
線性函數是一非常簡單的函數,函數值可很容易求出。在一小區間以一線性函數來逼近一函數,在實際應用時很重要。不但如此,即使在較高等的數學分析中也很重要。 設為一在之次可微的函數,。我們想找一多項式,此多項式在與至階導數皆相同(在某種意義下,表與在附近夠接近)。即要滿足下述個條件 。(1) 故我們試一次多項式,即令 。(2) 在(2)式中令,即得,故。其次將(2)式左、右分別對 微分,再令,得,故。餘此類推,可得 ,(3) 其中。故若一次數不超過之多項式滿足(1)式,則其係數必須滿足(3)式(若,則之次數為)。反之,若一多項式其係數滿足(3)式,也必滿足(1)式(此多項式之係數有可能大於)。 a
a 將寫成一之乘冪,並如前之推導,則可得 。(4) 此為唯一的次數不超過之多項式滿足 。 我們便將(4)式右側之多項式稱為在 之次泰勒多項式,並以 表之。 a a
a 對一次可微函數,我們介紹在之次泰勒多項式。與在點之值相同,且首階導數相同。但究竟與不一定相同。若令,則 , 或 。(5) 稱為在之第次餘項。(5)式稱為以為餘項之的泰勒公式,也稱為之一泰勒展開公式,或簡稱泰勒展式。如果我們能估計餘項之大小,則(5)式才較有用。我們想將以一積分來表示,然後再估計此積分之大小。 a
a 底下為對一般的之結果。 a
a 由於泰勒公式中的誤差,可表示成一關於之第階導數的積分,故若知 之一上、下界,則可得一之一上、下界。 a
a a 泰勒展式中的餘項雖已給在(7)式,但尚有一些其他的表示法。首先因(7)式右側積分算子中的在積分區間中皆未變號,且又假設在此區間中為連續,故由第二章『積分的基本性質及理論』之積分加權均值定理,得 , 其中 為某介於以,為端點之閉區間中的某點 ( 注意,與不一定那一個大 )。因此餘項可寫成 ,(8) 而 。 (8)式稱為 Lagrange 形式之餘項。
寫成這種形式,看起來與泰勒公式中的前面的項很相似,只不過要代入的是某點而非。又當然與, 及有關。 , 其中介於 0 與間。此特別形式的泰勒展式稱之為Maclaurin 公式。 a 本單元最後我們介紹所謂 記號 (讀做 the little-oh notation)。 設函數在之某一鄰域有一連續的第階導數,此時 。 現設 ,其中 ,則由在此閉區間中仍為連續, 得 在此閉區間中為有界。即存在一常數 ,使得 。 故(7)式之餘項滿足 。 因此 。 故若令 ,則 。 a
a 在上述定義中,也可以是或。只要夠大時,,且 , 便可寫成 。
符號涵意為當很接近時,與相比很小。 例 3.(i) ; (ii) ; (iii) ; (iv) 。 a 我們也常有諸如下式的寫法: , 此即 。 例如,因 , 故 。 a 若把記號引入泰勒展式中,且利用前面已指出的 ,則可寫成 ,(9) 只要在包含的某閉區間連續。由(9)式可看出,當很接近時,近似於一的次多項式,且誤差與相比很小。 a 底下為依據我們之前處理過的泰勒展式而有的結果。 。 。 。 a 要留意的是,設有一函數,則並非一特定的函數,而是某一與相比很小的函數。 a
a a 進一步閱讀資料:黃文璋(2002). 泰勒展開式。微積分講義第四章,國立高雄大學應用數學系。 |