泰勒展開式

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        線性函數是一非常簡單的函數，函數值可很容易求出。在一小區間以一線性函數來逼近一函數，在實際應用時很重要。不但如此，即使在較高等的數學分析中也很重要。
       我們將線性函數來逼近函數的想法加以推廣。多項式可說是分析裡所遇到的最簡單函數。對一多項式函數，任給一不但可很容易計算出函數值，有關微分及積分的運算，可說也是最容易的。底下我們將說明，許多函數皆可以一適當的多項式來逼近。

        設為一在之次可微的函數，。我們想找一多項式，此多項式在與至階導數皆相同（在某種意義下，表與在附近夠接近）。即要滿足下述個條件

。（1）

故我們試一次多項式，即令

。（2）

在（2）式中令，即得，故。其次將（2）式左、右分別對 微分，再令，得，故。餘此類推，可得

其中。故若一次數不超過之多項式滿足（1）式，則其係數必須滿足（3）式（若，則之次數為）。反之，若一多項式其係數滿足（3）式，也必滿足（1）式（此多項式之係數有可能大於）。

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        將寫成一之乘冪，並如前之推導，則可得

此為唯一的次數不超過之多項式滿足

我們便將（4）式右側之多項式稱為在 之次泰勒多項式，並以 表之。

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例 1. 求 sine 函數在 之 4 次泰勒多項式。    

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      對一次可微函數，我們介紹在之次泰勒多項式。與在點之值相同，且首階導數相同。但究竟與不一定相同。若令，則

，

或

。（5）

稱為在之第次餘項。（5）式稱為以為餘項之的泰勒公式，也稱為之一泰勒展開公式，或簡稱泰勒展式。如果我們能估計餘項之大小，則（5）式才較有用。我們想將以一積分來表示，然後再估計此積分之大小。

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        底下為對一般的之結果。

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        由於泰勒公式中的誤差，可表示成一關於之第階導數的積分，故若知 之一上、下界，則可得一之一上、下界。

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例 2.求 之近似值。   

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        泰勒展式中的餘項雖已給在（7）式，但尚有一些其他的表示法。首先因（7）式右側積分算子中的在積分區間中皆未變號，且又假設在此區間中為連續，故由第二章『積分的基本性質及理論』之積分加權均值定理，得

，

其中 為某介於以，為端點之閉區間中的某點 ( 注意，與不一定那一個大 )。因此餘項可寫成

，（8）

而

。

（8）式稱為 Lagrange 形式之餘項。 寫成這種形式，看起來與泰勒公式中的前面的項很相似，只不過要代入的是某點而非。又當然與， 及有關。
        另外，若，則得

，

其中介於 0 與間。此特別形式的泰勒展式稱之為Maclaurin 公式。

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       本單元最後我們介紹所謂 記號 （讀做 the little-oh notation）。

       設函數在之某一鄰域有一連續的第階導數，此時

。

現設 ，其中 ，則由在此閉區間中仍為連續， 得 在此閉區間中為有界。即存在一常數 ，使得

。

故（7）式之餘項滿足

。

因此

。

故若令 ，則 。

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        在上述定義中，也可以是或。只要夠大時，，且

，

便可寫成

。

符號涵意為當很接近時，與相比很小。
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例 3.(i) ；

        (ii) ；

        (iii) ；

        (iv) 。

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        我們也常有諸如下式的寫法：

，

此即

。

例如，因

，

故 。

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        若把記號引入泰勒展式中，且利用前面已指出的 ，則可寫成

，（9）

只要在包含的某閉區間連續。由（9）式可看出，當很接近時，近似於一的次多項式，且誤差與相比很小。

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        底下為依據我們之前處理過的泰勒展式而有的結果。

。

。

。

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        要留意的是，設有一函數，則並非一特定的函數，而是某一與相比很小的函數。

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例 4.試證 ，當 。     

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進一步閱讀資料：黃文璋(2002).  泰勒展開式。微積分講義第四章，國立高雄大學應用數學系。