求極值及繪圖

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        在微積分裡，主要是處理函數，討論函數的各種性質。而對一函數，最能了解其行為的，莫過於繪出其圖。

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        對一連續函數，一旦我們找出它所有的臨界點，則在那些區間是單調，便都可決定。例如，設為之二相繼的臨界點，且在連續。則：

(i)  若 ，則在嚴格漸增；

(ii) 若 ，則在嚴格漸減。

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例 1. 找出函數 為單調之區間。        

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例 2. 設。求使為單調之區間，並繪之圖形。  

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         對一可微函數，導數改變正負號處，就會有極值產生。所以欲求函數之極值，其步驟如下。

(i)  找出之所有臨界點及邊界點，以 表這些點之集合。

(ii) 設 ，找出一之鄰域，使得在為連續，其中為之定義域，且，即在中，為唯一之臨界點或邊界點。

(iii) 分別計算、及。先設不為邊界點。

    (1) 若且，則在有一相對極大；

    (2) 若且，則在有一相對極小。

    (3) 若上述二種情況皆未發生，則在無極植。

至於若為邊界點，當為左邊界點只要比較與之大小；當為右邊界點只要比較與之大小即可。

        上述步驟 (iii) 又可以下述 (iii)' 取代。

(iii)' 分別計算 及 。

    (1) 若 且 ，則在有相對極大；

    (2) 若 且 ，則在有相對極小；

    (3) 若上述二情況皆未發生，則在無極植。

至於若為邊界點，當為左邊界點只要看之正負；當為右邊界點只要看之正負。

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例 3.設，求之漸近線及相對極值並繪其圖。  

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        上凹及下凹之圖形大致如下。       

        可看出對一可微函數，若在某區域中為凸(凹)函數，則之圖形在此區域中為上凹(下凹)。了解函數之凹凸性，可使我們能精確地繪圖。

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         我們還有一名詞要介紹，即反曲點或稱拐點。

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        若在有一反曲點，且存在 ，則必有。

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        底下我們描述繪圖的一些步驟。

1. 決定漸近線。垂直漸近線將圖形分隔成數個部分，形成各自獨立的幾個區域；水平漸近線則可看出『最終』(即 或 )，圖形的大致高度；若有斜漸近線亦找出，表示最終會貼近該直線。

2. 決定極值。這是函數的局部最高處及最低處，而欲決定極值, 先找出臨界點。

3. 決定反曲點。反曲點就是改變圖形的型態，決定反曲點將可使圖形畫得較精確。 在反曲點附近的圖形大致有下述四類。

4. 求出軸及 軸之截距。即若有 ，找出會使 之，即為圖形通過軸處，及求出 ，即圖形通過軸處。

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例 4. 試繪 之圖形。   

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例 5. 試繪 之圖形。    

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        本單元最後我們來看以二階導數判別極值時，若且 該如何？

        假設函數，在之一鄰域為 階可微，且 在連續， 又設 ， 。則反覆利用柯西均值定理得對 ，

其中 介於與間， 介於與間，餘類推。由上式即得

，     (*)

其中 介於與間。對於有如上的表示法，我們下一單元會再深入討論。

        假設 。則只要與夠接近， 與 同號。因此利用(*)式，即得一判別在是否為極大或極小值的準則如下：

(i) 若為奇數，且 ，則在 有極小。

(ii) 若為奇數，且 ，則在有極大。

(iii) 若為偶數，則在無極值。

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進一步閱讀資料：黃文璋(2002).  求極值及繪圖。微積分講義第四章，國立高雄大學應用數學系。