極值之定義及均值定理

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        微分最大的應用之一便是用來協助求一函數的極大值或極小值。許多應用問題中的求最佳解，常可轉換為求一函數的極大值或極小值的問題。
        極大值有兩種，一種是我們在第一章『連續性之進一步探討』討論過的絕對極大值。在一集合中，若存在一，使得

，

則稱在有絕對極大值。絕對極小值亦可類似地定義。若為在中之絕對極大值，為之一子集合，且，則顯然亦為在中之絕對極大值。另一種極值是相對極值，其定義如下。

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         同理可定義相對極小值。
        有時我們只說相對極大或相對極小，而省略『值』。相對極大與相對極小合稱 相對極值。若一數為函數在中之一相對極值，則稱此數為之一極值。在此定義中，為極值發生處，而為一極值。絕對極大及絕對極小合稱絕對極值。可看出每一絕對極值皆為一相對極值。

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        因每一絕對極值亦為一相對極值，此系理也適用絕對極值的情況。不過，此系理之逆不真，即有可能（1）、（2）或（3）中有一成立，但在卻無極值。如， 若，，故。但為一漸增函數，因此在 0 無極值。
         此系理亦指出導數不存在處，有可能發生在極值。例如，設，則在 不可微，但在 0 卻有一相對極小 (也是絕對極小)。

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       在此系理之假設下，於中必有一點，使得在之切線為水平，見下圖。

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例 1. 對下述各函數及區間， 試驗證是否有臨界點存在。

（1） ，

（2） 。      

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        均值定理只是保證之存在，並未能指出在何處。對有些函數，往往值並不易求出。不過本定理的重要性在於的存在，利用此性質可得到另一些我們所想要的結果，而並不需要知道之確切的值。又要提醒讀者的是，在使用本定理時，若並非在 可微，便不一定適用了。例如，為一連續函數，且除了在外皆連續。但並不存在一 ，使得

  。

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例 2. 對下述各函數及區間， 試驗證均值定理是否成立。

（1） ，

（2） 。  

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例 3. 試證

。   

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        最後本單元我們來看均值定理之另一應用。欲求

之導數。此為一到處可微, 但導數不一定連續之例。事實上，因

故 除了在外皆連續，且 及 皆不存在。底下為一判別導數之連續性的結果。

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進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 極值之定義及均值定理。微積分講義第四章，國立高雄大學應用數學系。