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極限定理及連續性

　

        函數的極限定理有一些是類似數列極限中的結果，另外也有一些數列中沒有的極限定理。有了這些定理，可讓我們求更多的極限。

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定理. 設且，則

  (1) ，

  (2) ，

  (3) ，

  (4) ， 。

註. 定理中的常數皆為實數，以後我們不再特別聲明，極限為正或負無限大我們分別會以及表示出來。

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例 1. 求 之極限。    

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例 2. 設及別為及次多項式，，。求

      

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定理.設存在一*，使得，，且

，

則

。 

註. 此即為著名的夾擠定理。

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定理.設, 存在*, 使得,, 其中為一常數。則

。 

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例3. 求之極限。    

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        數學裡還有一個很重要但也常讓人迷惑不已的概念便是連續性。直觀上連續的意思是這樣的：假設一函數*在某一點之值為，若當一直接近時， 也可任意接近，則稱*在連續。

        西元1821年，柯西以的方法給出極限的定義，然後據此給出連續的定義，並延用至今。        

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定義. 設一函數*在某點有定義，且

，

則稱*在連續。若*在一集合中每一點皆連續，則*稱在連續。

若*在其定義域中每一點皆連續，則稱*為一連續函數。

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例 4. 每一有理式在其定義域中皆為連續函數。    

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例 5. 令，其中 [•] 為最大整數函數。討論*之連續性。    

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定理. (1) 設*及二函數在點皆連續。則，及皆在點連續。且只要，則在點亦連續。

(2) 設*及二函數在集合上皆連續函數。則，及皆在上連續。且只要，，則在亦為連續。

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例 6. 設

其中為常數。若為已知，試決定之值，使*為一連續函數。   

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定理. 設，且*在連續，則

。

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定理.

。

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例 7. 設。問是否可定義之值，使得*在連續。

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進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 極限定理及連續性。微積分講義第一章，國立高雄大學應用數學系。