1.4函數的極限

函數的極限

前面我們討論過數列的極限，對一數列，我們通常只會問時之極限，而不會問時，之極限，因只能等於，所以若很接近 5 ，則求即可。但若給一函數，則對,或時，趨近至何值，這種問題便有意義了。

定義. 設，則實數上任一包含之開區間稱為之一鄰域。即之一鄰域必為的形式，其中，而對，稱為之一半徑為的對稱鄰域。若為之一鄰域，則稱為之一去心鄰域。

定義. 若，存在一，使得當時，，則稱時，，以表之。此時之極限存在且等於。

例 1. 設，，則，。

定理. 成立，若且唯若對每一的鄰域，存在一的去心鄰域，使得時，。

例 2. 設為一常數，試證。

定義.（1）若，存在一，使得對，，則稱在之右極限為，以表之。

（2）若，存在一，使得對，，則稱在之左極限為，以表之。

註. 或又可分別以或表之。

例 3. 設

試說明之極限不存在。

定理. 設有一函數，則，若且唯若

。

例 4. 試驗證。

定義.（1）若，存在一，使得，，則稱在之右極限為無限大，且以表之。

（2）若，存在一，使得，，則稱在之右極限為負無限大，且以表之。

例 5. 試驗證。

定義.（1）若對，存在一，使得，則稱。

（同理可定義）

　　（2）若對，存在一，使得，，則稱。

（同理可定義，，）

例 6. 試驗證。

例 7. 試驗證。

進一步閱讀資料：黃文璋 (2002) . 函數的極限。微積分講義第一章。國立高雄大學應用數學系。