例 1. 我們先考慮數列，其中

。

顯然，為漸增。其次

即以 3 為一上界。故收斂至一實數。歐拉（Euler，1707-1783）似乎是第一位體會到此數之重要性的數學家，並以來表示。由於為時 之極限，故可表示為

例 2. 我們再來看另一種常見的引進的方法。考慮數列

則由二項式定理 ( Binomial Theorem ) 可得

又由上面第三個等號之右側可看出的每一項對漸增，且比多一正的項，故為一漸增且有界之數列。故得證存在。

        接著證明。對，仍由前述第三個等號之右側可得

   。

若先固定，而令，則上式左側趨近至，而右側趨近至。即有 ，而又有，因此

令，由夾擠定理便得。                 

例 3. 阿基米德（Archimedes，西元前 287-212）以單位圓的內接正多邊形的面積（以表之）來逼近圓面積。則因每一小扇形的面積為，故

再利用三角函數的公式，只要，

得

現考慮數列，即邊數依序為。也就是這些內接正多邊形的頂點，為不斷地取原弧中點而得。由幾何中的結果立即看出形成一漸增且有界的數列，故其極限存在，且

例 4. Gregory（1638-1675）在西元1671年給出一 arctanx 之級數表示法，西元1674年，萊布尼茲（Leibniz，1646-1716）由此級數得到一關於之極簡潔的公式：

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