極限的基本性質

　

        在此，我們對數列的極限做一些基本的介紹，並列出一些定理，讓求極限時可不須再由定義出發。我們並提供例題讓讀者練習，對每個例題我們將給出圖形，藉由圖形可大略判斷出此數列的極限行為，並斟酌給出互動式範例和提示。

a

定理. 設數列 之極限存在，則

（1）極限值唯一；

（2）此數列有界。

   a

例 1. 試證數列收斂，並求其極限值。   

　a

定理. 設二數列及 ，且 ， ，皆存在。則

（1） ，

（2） ，

（3） ，

（4） ，若 。

a

例 2. 設有二多項式 *及 ，則對 可有何推論？   

a　

系理. 設存在。則對 *常數 ，

（1） ，

（2） 。

 aa　

定理. 若，，且 ， ，則 。

a

定理. 設三數列，及 ， ，，且 ，則 。

    註.  上述為著名的夾擠原理（Squeezing Principle）。

a   

例 3. 求 時， 之極限值。       

a　

系理. 設為一有界數列，且 ，則 。

a

例 4. 試求。    

 a 

例 5. 試求。   

    a

例 6. 試求。   

　a

進一步閱讀資料： 黃文璋(2002).極限的基本性質。微積分講義第一章，國立高雄大學應用數學系。