數列的極限

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        極限是微積分的基礎,本單元我們就來探討極限,且從數列開始。我們將列出數列之極限的一些常用定義、定理,並提供一些例題讓讀者練習,每個例題我們將給出圖形,藉由圖形可大略判斷出此數列的極限行為,並斟酌給出互動式範例和提示。

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1. 設數列 ,且 ,試觀察當 無止盡增大時,的變化如何。

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定義. 設一數列。對一 * ,若 ,存在一 ,使得 時, ,則稱

    註. 在運用上述定義之前,必須先知道或猜出極限值

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2. ,試依定義證明

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3. ,試依定義證明  

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定義. 對一數列,若存在一*,使得,則稱 收斂(convergent),或說收斂到,否則稱為發散(divergent)。

     註. 一數列的收斂與否,重要的是其尾部,而非前面有限項。

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說明.

若存在一,使得,必存在一,使,則

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定義.若存在一常數*,使得,則稱為有界數列。

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4. 試證不存在。

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定義.設有數列

  ,則稱為漸增數列;

  ,則稱為漸減數列。

  ,則稱為嚴格漸增數列;

  ,則稱為嚴格漸減數列。

  漸增及漸減數列統稱單調數列。

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定理.設數列為單調且有界,則存在。

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定義.

(1) ,存在一,使得時,,則以表之;

(2)  若,存在一,使得時,,則以表之。

     註.  此時極限並不存在。

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5. ,試求

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系理. (1). 設存在一,使得數列自第項起為單調,且此數列為有界,則存在。

(2). 設數列為單調而不為有界。若此數列為漸增,則;若此數列為漸減,則

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6.,試證存在。

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7.,試證不存在。        

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進一步閱讀資料: 黃文璋(2002). 數列的極限。微積分講義第一章,國立高雄大學應用數學系。