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連續性之進一步探討

　

        微積分裡所處理的函數，常是連續函數，或是逐段連續函數，如 。且極限及連續都是逐點的性質，即是一點一點看函數是否極限存在，是否連續。但在討論某函數在某點的極限或連續性時，則須給該函數在那一點附近的值。例如，若只給 ，便無法得知 為何。

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定理. 設表二函數之合成函數。若在連續，在連續，則在連續。

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例 1. 設 ，試給出 之連續處。     

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例 2. 設 ，試給出之連續處。     

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引理. ( 連續函數之符號保持性質 ) 設在連續，且。則存在一 ，使得與之符號相同，。

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定理. ( Bolzano 定理 ) 設函數在閉區間 上每一點皆連續，且 與 符號相反。則存在一 ，使得 。

    註. Bolzano 定理，一般常稱為勘根定理。

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例 3. 試利用 Bolzano 定理，決定 之方程式根的範圍（指出落在那些區間，給至第一位小數，如 ）。     

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定理.設在連續，且存在 , ，使得 。則對每一介於 與 間之 ，存在一 ，使得 。

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例 4. 設在連續。試證存在一 ，使得 。  

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系理. 設 為一正整數，則對每一 ，方程式 恰有一正根。

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定理. 設在閉區間連續， ，且設 ， 。則存在一，使得 。

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定理.( 連續函數之有界定理 ) 設在上連續，則在上有界。

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        設為實數之一非空子集合。若滿足，，且若，則必有一*，使得，則稱為之最小上界（或稱上確界，以表之）。最小上界若存在必唯一，但不一定屬於該集合。若，則中有最大元素，且即為。當，則中不存在最大元素。類似地，也可定義集合之最大下界（或稱下確界，以表之）。例如，對或，皆為 1，但對前者，，對後者，，又二者之皆為 0。

        若函數在有界，則集合 有上界且有下界。因此該集合有上確界（即最小上界）及下確界（即最大下界），分別以 及 表之。即

， 。

對一有界函數，便有 。

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定理. ( 連續函數之極值定理 ) 設在連續，。則存在一    ，使得 

且 。

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定理. 設在閉區間連續且為嚴格漸增。令 ，且令 為之反函數，即對 ， ，其中 滿足 。則

(1) 在 嚴格漸增；

(2) 在連續。

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        最後，我們介紹均勻連續性，或稱一致連續。

        設以定義連續。則欲檢定函數在連續時，對，我們須找一 ，使得，。對一，我們知道的取法並不唯一，一旦找得一個，比該小的正數皆適用。換句話說，在連續，是一種局部的性質，只與在附近一鄰域（不論多小）有關。

        另外，的選取不但與有關，與也有關。若在附近的圖形較平緩，則 可大些；若在附近的圖形較陡，則就要小些。若在某區間中，只與有關，而與無關，則稱為均勻連續。即若，存在一，使得對區間中的任二，若滿足，皆使，則稱在均勻連續。

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例 5. 設，試問是否為均勻連續。 

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定理. 設函數在一閉區間為連續，則在為均勻連續。

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例 6. 設。試證

      (1) 在上為均勻連續；

      (2)  在上不為均勻連續。       

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進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 連續性之進一步探討。微積分講義第一章，國立高雄大學應用數學系。