連續性之進一步探討
微積分裡所處理的函數,常是連續函數,或是逐段連續函數,如 。且極限及連續都是逐點的性質,即是一點一點看函數是否極限存在,是否連續。但在討論某函數在某點的極限或連續性時,則須給該函數在那一點附近的值。例如,若只給 ,便無法得知 為何。 a
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註. Bolzano 定理,一般常稱為勘根定理。 a 例 3. 試利用 Bolzano 定理,決定 之方程式根的範圍(指出落在那些區間,給至第一位小數,如 )。 a
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a 設為實數之一非空子集合。若滿足,,且若,則必有一,使得,則稱為之最小上界(或稱上確界,以表之)。最小上界若存在必唯一,但不一定屬於該集合。若,則中有最大元素,且即為。當,則中不存在最大元素。類似地,也可定義集合之最大下界(或稱下確界,以表之)。例如,對或,皆為 1,但對前者,,對後者,,又二者之皆為 0。 若函數在有界,則集合 有上界且有下界。因此該集合有上確界(即最小上界)及下確界(即最大下界),分別以 及 表之。即 , 。 對一有界函數,便有 。 a
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a 最後,我們介紹均勻連續性,或稱一致連續。 設以定義連續。則欲檢定函數在連續時,對,我們須找一 ,使得,。對一,我們知道的取法並不唯一,一旦找得一個,比該小的正數皆適用。換句話說,在連續,是一種局部的性質,只與在附近一鄰域(不論多小)有關。 另外,的選取不但與有關,與也有關。若在附近的圖形較平緩,則 可大些;若在附近的圖形較陡,則就要小些。若在某區間中,只與有關,而與無關,則稱為均勻連續。即若,存在一,使得對區間中的任二,若滿足,皆使,則稱在均勻連續。 a a
a 例 6. 設。試證 (1) 在上為均勻連續; a 進一步閱讀資料:黃文璋(2002). 連續性之進一步探討。微積分講義第一章,國立高雄大學應用數學系。 |