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連續性之進一步探討

 

        微積分裡所處理的函數,常是連續函數,或是逐段連續函數,如 。且極限及連續都是逐點的性質,即是一點一點看函數是否極限存在,是否連續。但在討論某函數在某點的極限或連續性時,則須給該函數在那一點附近的值。例如,若只給 ,便無法得知 為何。

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定理.表二函數之合成函數。若連續,連續,則連續。

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例 1. ,試給出 之連續處。     

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例 2. 試給出之連續處。     

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引理. ( 連續函數之符號保持性質 ) 設連續,且。則存在一 ,使得之符號相同,

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定理. ( Bolzano 定理 ) 設函數在閉區間 上每一點皆連續,且 符號相反。則存在一 ,使得

    註. Bolzano 定理,一般常稱為勘根定理。

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例 3. 試利用 Bolzano 定理,決定 方程式根的範圍(指出落在那些區間,給至第一位小數,如 )。     

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定理.連續,且存在 , ,使得 。則對每一介於 間之 ,存在一 ,使得

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例 4.連續。試證存在一 ,使得   

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系理. 為一正整數,則對每一 ,方程式 恰有一正根。

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定理.在閉區間連續, ,且設 。則存在一,使得

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定理.( 連續函數之有界定理 ) 設上連續,則上有界。

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        設為實數之一非空子集合。若滿足,且若,則必有一*,使得,則稱之最小上界(或稱上確界,以表之)。最小上界若存在必唯一,但不一定屬於該集合。若,則中有最大元素,且即為。當,則中不存在最大元素。類似地,也可定義集合之最大下界(或稱下確界,以表之)。例如,對皆為 1,但對前者,,對後者,,又二者之皆為 0。

        若函數有界,則集合 有上界且有下界。因此該集合有上確界(即最小上界)及下確界(即最大下界),分別以 表之。即

對一有界函數,便有

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定理. ( 連續函數之極值定理 ) 設連續,。則存在一    ,使得 

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定理.在閉區間連續且為嚴格漸增。令 ,且令 之反函數,即對 ,其中 滿足 。則

(1) 嚴格漸增;

(2) 連續。

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        最後,我們介紹均勻連續性,或稱一致連續。

        設以定義連續。則欲檢定函數連續時,對,我們須找一 ,使得。對一,我們知道的取法並不唯一,一旦找得一個,比該小的正數皆適用。換句話說,連續,是一種局部的性質,只與附近一鄰域(不論多小)有關。

        另外,的選取不但與有關,與也有關。若附近的圖形較平緩,則 可大些;若附近的圖形較陡,則就要小些。若在某區間中,只與有關,而與無關,則稱為均勻連續。即若,存在一,使得對區間中的任二,若滿足,皆使,則稱均勻連續。

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例 5. ,試問是否為均勻連續。 

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定理. 設函數在一閉區間為連續,則為均勻連續。

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例 6. 。試證

      (1) 上為均勻連續;

      (2)  上不為均勻連續。       

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進一步閱讀資料:黃文璋(2002). 連續性之進一步探討。微積分講義第一章,國立高雄大學應用數學系。