3.3變數代換

變數代換

　　在1.5節我們曾介紹單變數的變數代換。對隨機向量, 有時我們會對的二函數, 如

$\displaystyle U=g_1(X,Y),$	(3.1)
$\displaystyle V=g_2(X,Y),$	(3.2)

有興趣。如果令 $A=\{(x,y)\vert f(x,y)>0\}$ , 其中為之聯合p.d.f., $B=\{(u,v)\vert u=g_1(x,y),v=g_2(x,y),(x,y)\in A\}$ 。則便是由映至之一變數代換。有時也可能只對一個函數有興趣。這兩種情況都屬於兩個變數的變數代換。

　　例如, 令表某位學生第一次考試的成績, 表第二次考試的成績。我們可能想對其進步成績, 與總分有興趣, 也可能只想對其進步的比率有興趣。或是單獨的 , , 皆是將原來的隨機向量變換(或說轉換)至新的變數。

　　設由經由(3.1)及(3.2)式變換至。若由(1.1)及(1.2)式可解出唯一的, , 則我們說由至的變換, 為。此時有

$\displaystyle u=g_1(x,y), v=g_2(x,y)\Leftrightarrow x=h_1(u,v), y=h_2(u,v)\raisebox{-1.2mm}{。}$

(3.3)

例如, 設

$\begin{eqnarray*} U=X+Y,\quad V=X-Y, \end{eqnarray*}$

則

$\begin{eqnarray*} X=\frac{1}{2}(U+V)=h_1(U,V),\quad Y=\frac{1}{2}(U-V)=h_2(U,V)\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$

故至為變換。另外, 設, 為二正的隨機變數, 且令

$\begin{eqnarray*} U=XY,\quad V=X/Y, \end{eqnarray*}$

則

$\begin{eqnarray*} X=(UV)^{1/2}=h_1(U,V),\quad Y=(U/V)^{1/2}=h_2(U,V), \end{eqnarray*}$

因此至仍為變換。

　　若為離散型的隨機向量, 以為聯合p.d.f.。則由(3.3)式, 之聯合p.d.f.為

$\displaystyle f_{U,V}(u,v)=f(h_1(u,v), h_2(u,v))\raisebox{-1.2mm}{。}$

(3.4)

此因

$\begin{eqnarray*} f_{U,V}(u,v)&=&P(g_1(X,Y)=u, g_2(X,Y)=v) \\ &=&P(X=h_1(u,v), Y=h_2(u,v)) \\ &=&f(h_1(u,v), h_2(u,v))\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$

　　做變數代換, 務必要將新的支撐(即前述)找出來。見下例。

例 1. 設之聯合p.d.f.為

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{n!}{x!y!(n-x-y)!}p_1^xp_2^y(1-p_1-p_2)^{n-x-y}, \end{eqnarray*}$

其中 $p_1,p_2 \geq 0$ , $p_1+p_2 \leq 1$ , , 為非負整數, 且 $x+y \leq n$ 。令

$\begin{eqnarray*} U=X+Y,\quad V=X/(X+Y)\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$

其中當時, 令。則

$\begin{eqnarray*} X=UV=h_1(U,V),\quad Y=U(1-V)=h_2(U,V), \end{eqnarray*}$

故至為的變換。因此之聯合p.d.f.為

$\begin{eqnarray*} f_{U,V}(u,v)&=&f(uv, u(1-v)) \\ &=&\frac{n!}{(uv)!(u(1-v))!(n-u)!}p_1^{uv}p_2^{u(1-v)}(1-p_1-p_2)^{n-u}, \end{eqnarray*}$

其中為非負整數, 且 $0 \leq u \leq n$ 。

　　在做變數代換時, 要小心求出新的變數之範圍。底下亦為一例。

例 2. 設為二獨立的隨機變數, 分別有 ${\cal P}(\lambda)$ 及 ${\cal P}(\mu)$ 分佈。則之聯合p.d.f.為

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}\frac{e^{-\mu}\mu^y}{y!}, x,y=0,1,2,\cdots\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$

我們想求之分佈。

　　讀者可利用例 2中的方法, 對二獨立的隨機變數, 且分別有 $\mathcal{B}(m,p)$ 及 $\mathcal{B}(n,p)$ 分佈, 導出有 $\mathcal{B}(m+n, p)$ 分佈, 仍與利用拉普拉斯轉換所得相同。

　　有時我們只對之一函數有興趣, 例 2便提供一典型的作法: 先引進另一隨機變數, 然後求之聯合分佈, 再求之邊際分佈。

　　若為連續型的隨機向量, 仍以為其聯合p.d.f., 則之聯合p.d.f., 可如單變數的情況(見第一章(5.5)式)得到。即

$\displaystyle f_{U,V}(u,v)=\vert J(u,v)\vert f(h_1(u,v), h_2(u,v)),$

(3.5)

其中

$\displaystyle J(u,v)=\left\vert \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial u}... ...tial y}{\partial v}-\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v},$

(3.6)

而

稱為變換, 之雅可彬(Jacobian)。令

$\begin{eqnarray*} B=\{(u,v)\vert u=g_1(x,y), v=g_2(x,y)\}\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$

我們假設在中不恆為。 (3.5)式的由來是利用重積分之變數代換。即

$\begin{eqnarray*} F_{U,V}(u,v)&=&P(U \leq u, V \leq v) \\ &=&P(g_1(X,Y)\leq u,g... ...^v\int_{-\infty}^u \vert J(s,t)\vert f(h_1(s,t), h_2(s,t)) dsdt, \end{eqnarray*}$

其中 $A=\{(x,y)\vert g_1(x,y)\leq u, g_2(x,y)\leq v\}$ , 且用到重積分之變數代換, 令, 。再利用

$\begin{eqnarray*} f_{U,V}(u,v)=\frac{\partial^2}{\partial u \partial v}F_{U,V}(u,v), \end{eqnarray*}$

及微積分基本定理, 即得(3.5)式。
　　

定理 1.設為二獨立的隨機變數, 分別有 $\Gamma (p, \lambda)$ 及 $\Gamma (q, \lambda)$ 分佈。令 $U\linebreak =X/(X+Y), V=X+Y$ 。則與獨立, 且有 ${\cal B}e(p, q)$ 分佈, 有 $\Gamma(p+q, \lambda)$ 分佈。

　　我們說明一下定理 1。首先此定理涵蓋定理2.4之(iii)。另外, 此定理為數理統計中一重要且特殊的結果。由表面的型式看來, 不像會獨立: , 而剛好是的分母。但對 $X,\linebreak Y$ 皆為gamma分佈, 且有同樣的尺度參數, 則與獨立。事實上此為gamma分佈之一特性。即若已知與為取正值的隨機變數, 且知與獨立, 則與皆為gamma分佈, 且有相同的尺度參數, 這是Lukacs(1955)所證出, 現已有許多推廣。

　　底下結果為定理 1之一立即的推論。
　　

系理 1.設與獨立, 且有 $\mathcal{B}e(p,q)$ 分佈, 有 $\Gamma(p+q, \lambda)$ 分佈。則有 $\Gamma (p, \lambda)$ 分佈。

系理 1指出, 當參數有某特殊的關係, 則獨立的gamma隨機變數與beta隨機變數相乘後, 仍有gamma分佈。這是一有趣的結果。另外, 二獨立的beta隨機變數相乘後, 亦可能仍有beta分佈。

　　再給一個例子。
例 3. 設與為二獨立的隨機變數, 且皆有 ${\cal U}(1, \beta)$ 分佈, $\beta>1$ 。令。試求之p.d.f.。

　　上例顯示, 在做變數代換時, 要小心新變數取值的範圍, 必要時畫一簡圖。底下再給一自表面上看不像獨立, 但卻是獨立的例子。

例 4. 設為獨立, 且有 ${\cal N}(\mu, \sigma^2)$ 分佈, 有 ${\cal N}(\gamma, \sigma^2)$ 分佈。令, 。則與獨立, 且有 ${\cal N}(\mu+\gamma, 2\sigma^2)$ 分佈, 有 ${\cal N}(\mu-\gamma, 2\sigma^2)$ 分佈。

　　在上例中, 若 $\mu=\gamma=0$ , 則與不但獨立, 且有相同的 ${\cal N}(0, 2\sigma^2)$ 分佈。底下的定理指出, 對二獨立的隨機變數, 其各自的函數亦獨立。
　　

定理 2.設為二獨立的隨機變數, 分別為之函數。則 $U\linebreak =g(X)$ 與為二獨立的隨機變數。

例 5. 設為二獨立的隨機變數, 分別有 $\Gamma (p, \lambda)$ 及 $\Gamma (q, \lambda)$ 分佈。令, 。由定理 1知, 與獨立。再由定理 2知,
與 $V^{-1}-1=Y/X$ 獨立。

　　有時由至的變換並非, 此時可仿單變數時的作法, 可參考第一章(5.7)式。即設存在 $A=\{(x,y)\vert f(x,y)>0\}$ 之一分割 $A_0, A_1, \cdots, A_n$ , 其中可能是空集合, 滿足 $P((X,Y)\in A_0)=0$ , 使得對 $\forall i=1,\cdots,k$ , , 為由映成至之函數。則對 $\forall i=1,\cdots,k$ , 由至之反函數存在, 以 $x=h_{1i}(u,v)$ , $y=h_{2i}(u,v)$ 表第個反函數。對第個反函數, $\forall (u,v)\in B$ , 有唯一的 $(x,y)\in A$ , 使得

$\begin{eqnarray*} (u,v)=(g_1(x,y), g_2(x,y))\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$

令表第個反函數之雅可彬。假設 $J_1, J_2, \cdots, J_k$ 在中皆不為。則 $(U,\linebreak V)$ 之聯合p.d.f.為

(3.8)

例 6. 設與為二獨立的隨機變數, 皆有 ${\cal N}(0,1)$ 分佈。令, $V=\vert Y\vert$ 。當時, 可定義(或任何其他常數值)。由於對連續型的隨機變數, , 所以倒不用擔心的情況。求 $(U,\linebreak V)$ 之聯合p.d.f.和之邊際p.d.f.。