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混合分佈 

        有時一隨機變數之參數,亦允許為隨機變數。我們先看一個例子。
例 1. 假設高雄市每天發生之交通事故的次數$Y$有 ${\cal P}(\lambda)$分佈。 每次交通事故有$p$的機率會有死亡。令$X$表每天有死亡之交通事件。 則$X\vert Y$有${\cal B}(Y,p)$分佈, 而$Y$有 ${\cal P}(\lambda)$分佈。 本模式即二項分佈試驗的次數亦為一隨機變數$Y$。給定$Y=y$, 則$X$有${\cal B}(y,p)$分佈。至於$Y$則有 ${\cal P}(\lambda)$分佈。當一隨機變數$X$之參數亦為隨機變數時, 我們便說$X$有一混合分佈(mixture distribution)。

　　在本例中, $X$之非條件分佈如何求? 由假設, 且利用第一章定理2.1, 得

\begin{eqnarray*} P(X=x)&=&\sum_{y=0}^\infty P(X=x\vert Y=y)P(Y=y) \\ &=&\sum_{... ...=\frac {e^{-\lambda p} (\lambda p)^{x}}{x!}\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}

因此$X$之非條件分佈為 ${\cal P}(\lambda p)$。

　　在上例中, 每天死亡人數之期望值為 $E(X)=\lambda p$。 又顯然$E(X\vert Y)\linebreak =Yp,E(Y)=\lambda$, 故得$E(X)=E(E(X\vert Y))=E(Yp)=pE(Y)=\lambda p$。這就是總機率法則(Law of total probability): 條件期望值之期望值, 等於原期望值。 我們列成如下的定理。
　　

  定理 1.對任二隨機變數$X,Y$, 只要下述各期望值皆為有限, 便有                提示

$\displaystyle E(X)=E(E(X\vert Y))\raisebox{-1.2mm}{。}$

(4.1)

　　由例 1或定理 1知, 所謂混合分佈, 乃是分層來看隨機變數。 有時這樣子描述一機率模式, 會較容易理解。像例 1, 對每天發生的交通事故, 給它一個分佈。 每次事故又有一定的機率會有死亡。這樣子分兩層來想, 似乎容易多了。有時還可分好幾層, 見下例。


例 2. 承例 1。假設不同的城市, 每天發生交通事故的次數雖皆可以波松分佈當模式, 但參數可能不同。 即設$Y\vert\Lambda$有 ${\cal P}(\Lambda)$分佈, 又設$\Lambda$有 ${\cal E}(\beta)$分佈。求$X$之期望值及$Y$之非條件分佈。    提示

　　大家是否注意到, 在上例中, 我們引進了一與以前不太一樣的模式, 即二隨機變數一為連續一為離散。不過倒不至於有問題。例如, 在定義 $f_{Y,\Lambda}(y,\lambda)$時, 只要記住在求機率或期望值時, 若是離散型的隨機變數便用加的, 連續型的隨機變數則用積分。

　　底下再給一例。


例 3. 設$X\vert P=p$有 $\mathcal{B}er(p)$分佈, 而$P$有 $\mathcal{B}e(\alpha,\beta)$分佈。則$X$之非條件分佈為 $\mathcal{B}er(\alpha/(\alpha+\beta))$，並求$E(X)$之值。　 提示

　　總機率法則以分兩層來求期望值。對於求變異數則有下述定理。
　　

  定理 2.對任二隨機變數$X,Y$, 只要下述各期望值及變異數皆存在, 便有    提示

(4.2)


例 4. 承例 3, 欲求$X$的變異數。 　提示

　

進一步閱讀資料：黃文璋 (2003) . 混合分佈。數理統計講義第三章。國立高雄大學應用數學系。

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