多 變 函 數 之 積 分

  a

        設 $f(x, y)$ 為一 $x$$y$ 之連續函數, $x\in [\alpha , \beta ]$, $y\in
[a, b]$ 先將 $x$ 固定, 而考慮 $f(x, y)$$y\in
[a, b]$ 之積分, 即 $\int_a^b f(x, y)dy$ 此積分與 $x$ 有關 因此 $\int_a^b f(x, y)dy$ 為一 $x$ 之函數在分析裡, 我們常會遇到這種積分後仍為一函數的情況

  底下為一基本的性質

定理 1.設函數 $f(x, y)$ 在矩形 $[\alpha , \beta ]\times [a, b]$ 連續則下述函數 $G$ 仍為一連續函數:

\begin{displaymath}
G(x)=\int_a^b f(x, y)dy, x\in [\alpha , \beta ]\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}                              證明

  a
  同理, 若令

\begin{displaymath}
H(y)=\int_{\alpha }^{\beta } f(x, y)dx,\ \ y\in [a, b],
\end{displaymath}
$H$ 亦為一連續函數由於 $G$$H$ 皆為連續函數, 故其積分存在我們便以
來表示 $\int_{\alpha }^{\beta } G(x)dx$, 以
來表示 $\int_a^b H(y)dy$上述二積分別稱為 $f$ 在矩形 $[\alpha , \beta ]\times [a, b]$ 之逐次積分 , 稍後我們會證明此二逐次積分相等


例 1. $f(x, y)=x^2-2xy$, 求 $\int_{-1}^2(\int_1^4 f(x, y)dy)dx$。 

  其次我們給定理 1 之一推廣

定理 2.$f$ 為一定義在矩形 $[\alpha , \beta ]\times [a, b]$ 之連續函數, 且令

\begin{eqnarray*}
G(x, y) &=& \int_a^y f(x, t)dt, y\in [a, b], \\
H(x, y) &=& \...
... y)dt, x\in [\alpha , \beta ]\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{eqnarray*}
$G$$H$ 皆為 $[\alpha , \beta ]\times [a, b]$ 上之連續函數。                       證明

  

  有時我們必須對函數 $G(x)=\int_a^b f(x, y)dy$ 微分, 下述定理的結果, 似乎不難預期到在此 $f_x(x, y)=\partial f(x, y)/\partial
x$

定理 3.設函數 $f$ 定義在 $S=[\alpha ,\beta ]\times [a, b]$, 且 $f$$f_x$ 皆在 $S$ 中連續

\begin{displaymath}
\frac d{dx}\int_a^b f(x, y)dy =\int_a^b f_x(x, y)dy\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath} (8.1)證明

  若定理 3 之條件不滿足, 則 (8.1) 便不一定成立, 見下例


例 2.

\begin{displaymath}
f(x, y)=\left\{\begin{array}{lll}
(x^3/y^2)e^{-x^2/y} &\hspa...
...5cm}, & y>0, \\
0 &\hspace{-0.25cm}, &y=0,
\end{array}\right.
\end{displaymath}
為一定義在 $x\in R$, $y\geq 0$ 之函數。此為一 $x$ 之連續函數, 也為一 $y$ 之連續函數 試證$f(x, y)$ 在 (0,0) 並不連續 。 

  

  利用定理 3, 我們便可證明二逐次積分相等了

定理 4.$f$ 為一在 $[\alpha , \beta ]\times [a, b]$ 連續 的函數, 則                                  證明

\begin{displaymath}
\int_{a}^{b}(\int_{\alpha }^{\beta } f(x, y)dx)dy = \int_{\a...
...eta }(\int_a^b f(x, y)dy)dx\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath} (8.4)

  a

  等到下一章我們學了重積分, 也可用那時得到的結果證出 (8.4)

  現在我們可證明定理 2 了我們先再敘述一遍該結果

  設有一函數 $f(x, y)$$f_{xy}$$f_{yx}$$R^2$ 中一開集合 $S$ 中皆連續我們想證明

\begin{displaymath}
f_{xy}(x, y)=f_{yx}(x, y),\ \forall (x, y)\in S\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath} (8.7)

$h(x, y)=f_y(x, y)$, $\forall (x, y)\in S$ $h_x(x,
y)=f_{yx}(x, y)$現若 $(x, a)\in S$, 其中 $a$ 為一常數, 則

\begin{eqnarray*}
f(x, y) &=& f(x, a)+f(x, y)-f(x, a) \\
&=& f(x, a)+\int_a^y h(x, t)dt\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{eqnarray*}
再由定理 3,
\begin{displaymath}
f_x(x, y)=f_x(x,a)+\int_a^y h_x (x, t)dt\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}
上式兩側再分別對 $y$ 微分, 且利用微積分基本定理, 得
\begin{displaymath}
f_{xy}(x, y)=h_x(x, y)=f_{yx}(x, y)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}
故 (8.7) 成立


例 3.

\begin{displaymath}
\int_0^1 \frac {x^{\alpha }-1}{\log x}dx,\ \ \alpha \geq 0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}  


例 4.

\begin{displaymath}
F(x)=\int_a^{u(x)}f(x, t)dt,
\end{displaymath}
其中 $u$ 為一可微函數, 且 $f$$f_x$ 皆連續, 求 $F'(x)$。 


例 5.(i) 令

\begin{displaymath}
F(x)=\int_0^x \sin(xy)dy,
\end{displaymath}
$F'(x)$

(ii) 令

\begin{displaymath}
F(x)=\int_0^1\frac {x}{\sqrt {1-x^2y^2}}dy=\arcsin x,\ \ -1<x<1,
\end{displaymath} (8.8)
$F'(x)$ 
        

  a

進一步閱讀資料:黃文璋(2002). 多變函數之積分微積分講義第九章,國立高雄大學應用數學系。