多　變　函　數　之　積　分

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        設 $f(x, y)$ 為一 $x$ 及 $y$ 之連續函數, $x\in [\alpha , \beta ]$, $y\in [a, b]$。 先將 $x$ 固定, 而考慮 $f(x, y)$ 在 $y\in [a, b]$ 之積分, 即 $\int_a^b f(x, y)dy$ 。此積分與 $x$ 有關。 因此 $\int_a^b f(x, y)dy$ 為一 $x$ 之函數。在分析裡, 我們常會遇到這種積分後仍為一函數的情況。

　　底下為一基本的性質。

定理 1.設函數 $f(x, y)$ 在矩形 $[\alpha , \beta ]\times [a, b]$ 連續。則下述函數 $G$ 仍為一連續函數:

\begin{displaymath} G(x)=\int_a^b f(x, y)dy, x\in [\alpha , \beta ]\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}                              證明

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　　同理, 若令

\begin{displaymath} H(y)=\int_{\alpha }^{\beta } f(x, y)dx,\ \ y\in [a, b], \end{displaymath}
則 $H$ 亦為一連續函數。由於 $G$ 及 $H$ 皆為連續函數, 故其積分存在。我們便以
來表示 $\int_{\alpha }^{\beta } G(x)dx$, 以
來表示 $\int_a^b H(y)dy$。上述二積分別稱為 $f$ 在矩形 $[\alpha , \beta ]\times [a, b]$ 之逐次積分 , 稍後我們會證明此二逐次積分相等。


例 1.令 $f(x, y)=x^2-2xy$, 求 $\int_{-1}^2(\int_1^4 f(x, y)dy)dx$。 

　　其次我們給定理 1 之一推廣。

定理 2.設 $f$ 為一定義在矩形 $[\alpha , \beta ]\times [a, b]$ 之連續函數, 且令

\begin{eqnarray*} G(x, y) &=& \int_a^y f(x, t)dt, y\in [a, b], \\ H(x, y) &=& \... ... y)dt, x\in [\alpha , \beta ]\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{eqnarray*}
則 $G$ 及 $H$ 皆為 $[\alpha , \beta ]\times [a, b]$ 上之連續函數。                       證明

  

　　有時我們必須對函數 $G(x)=\int_a^b f(x, y)dy$ 微分, 下述定理的結果, 似乎不難預期到。在此 $f_x(x, y)=\partial f(x, y)/\partial x$。

定理 3.設函數 $f$ 定義在 $S=[\alpha ,\beta ]\times [a, b]$, 且 $f$ 及 $f_x$ 皆在 $S$ 中連續。則

\begin{displaymath} \frac d{dx}\int_a^b f(x, y)dy =\int_a^b f_x(x, y)dy\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath} (8.1)證明

　　若定理 3 之條件不滿足, 則 (8.1) 便不一定成立, 見下例。


例 2.設

\begin{displaymath} f(x, y)=\left\{\begin{array}{lll} (x^3/y^2)e^{-x^2/y} &\hspa... ...5cm}, & y>0, \\ 0 &\hspace{-0.25cm}, &y=0, \end{array}\right. \end{displaymath}
為一定義在 $x\in R$, $y\geq 0$ 之函數。此為一 $x$ 之連續函數, 也為一 $y$ 之連續函數。 試證$f(x, y)$ 在 (0,0) 並不連續 。 

　　

　　利用定理 3, 我們便可證明二逐次積分相等了。

定理 4.設 $f$ 為一在 $[\alpha , \beta ]\times [a, b]$ 連續 的函數, 則                                  證明

\begin{displaymath} \int_{a}^{b}(\int_{\alpha }^{\beta } f(x, y)dx)dy = \int_{\a... ...eta }(\int_a^b f(x, y)dy)dx\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath} (8.4)

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　　等到下一章我們學了重積分, 也可用那時得到的結果證出 (8.4)。

　　現在我們可證明定理 2 了。我們先再敘述一遍該結果。

　　設有一函數 $f(x, y)$ 且 $f_{xy}$ 與 $f_{yx}$ 在 $R^2$ 中一開集合 $S$ 中皆連續。我們想證明

\begin{displaymath} f_{xy}(x, y)=f_{yx}(x, y),\ \forall (x, y)\in S\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath} (8.7)

令 $h(x, y)=f_y(x, y)$, $\forall (x, y)\in S$。則 $h_x(x, y)=f_{yx}(x, y)$。現若 $(x, a)\in S$, 其中 $a$ 為一常數, 則

\begin{eqnarray*} f(x, y) &=& f(x, a)+f(x, y)-f(x, a) \\ &=& f(x, a)+\int_a^y h(x, t)dt\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{eqnarray*}
再由定理 3,
\begin{displaymath} f_x(x, y)=f_x(x,a)+\int_a^y h_x (x, t)dt\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}
上式兩側再分別對 $y$ 微分, 且利用微積分基本定理, 得
\begin{displaymath} f_{xy}(x, y)=h_x(x, y)=f_{yx}(x, y)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}
故 (8.7) 成立。


例 3.求

\begin{displaymath} \int_0^1 \frac {x^{\alpha }-1}{\log x}dx,\ \ \alpha \geq 0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}  


例 4.令

\begin{displaymath} F(x)=\int_a^{u(x)}f(x, t)dt, \end{displaymath}
其中 $u$ 為一可微函數, 且 $f$ 與 $f_x$ 皆連續, 求 $F'(x)$。 


例 5.(i) 令

\begin{displaymath} F(x)=\int_0^x \sin(xy)dy, \end{displaymath}
求 $F'(x)$。

(ii) 令

\begin{displaymath} F(x)=\int_0^1\frac {x}{\sqrt {1-x^2y^2}}dy=\arcsin x,\ \ -1<x<1, \end{displaymath} (8.8)
求 $F'(x)$。　
        

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進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 多變函數之積分。微積分講義第九章，國立高雄大學應用數學系。