極　　值

  a    

　　變函數之極值的概念也可推廣到多變函數。

　　設有一函數 $f(x, y)$, $S$ 為一包含於 $f$ 之定義域的集合。 對一 $P\in S$, 若

\begin{displaymath} f(P)\geq f(Q),\ \forall Q\in S, \end{displaymath}

則稱 $f$ 於 $S$ 中, 在 $P$ 有絕對極大值 $f(P)$。 若存在一開球 $B(P; r)$, 使得

\begin{displaymath} f(P)>f(Q),\ \forall Q\in B(P; r),\ Q\neq P, \end{displaymath}

則稱 $f$ 在 $P$ 有一相對極大。 同理可定義絕對極小值及相對極小值。 相對極大值及相對極小值統稱相對極值。

　　設 $f(x, y)$ 在平面上一封閉的區域連續, 則 $f$ 在此區域 中有絕對極大及絕對極小。為了簡便, 對相對極值, 我們常省略“相對” 二字, 而只稱極值。

　　首先若 $f(a,b)$ 為 $f$ 之一極大值, 則 $f$ 之圖形在平面上 $x=a$ 及 $y=b$ 之 截域, 皆以 $(a, b,f(a, b))$ 為極大點。 而若 $f(a,b)$ 為 $f$ 之一極小值, 則在前述二截距, $(a, b,f(a, b))$ 便為極小點。 故若 $f$ 在 $(a, b)$ 有一相對 極值, 且 $f$ 在 $(a, b)$ 之一階偏導數皆存在, 則必有

\begin{displaymath} f_1 (a, b)=0,\ \ f_2(a, b)=0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

因此, 如我們所預料的, 在一極值發生處的切平面平行 $x$-$y$ 平面。 故欲求函數 $f$ 之極值, 先解同時滿足下二方程式之 $x$, $y$:

\begin{displaymath} f_1(x, y)=0,\ \ \ f_2(x, y)=0, \end{displaymath}

再檢驗每一組解是否為極大值或極小值。 當然, 如同單變數的情況, 極值也有可能 發生在邊界點, 或偏導數不存在處。 不過大部分我們遇到的例子中, 我們並不考慮這種情形。


例 1.設 $f(x, y)=4-x^2-y^2$, 求 $f$ 之極值。 

例 2.令 $f(x, y)=4+x^2-y^2$, 求 $f$ 之極值。 

　　對較複雜的例子, 由令一階偏導數為 0 之方程式解出的點, 並不易決定是否為極值, 此 情況對單變數也是類似。 因此我們也將給一以二階導數來檢驗極值的方法。

　　設 $f_1(a, b)=f_2(a, b)=0$, 且二階偏導數 $f_{11}(a, b)$ 及 $f_{22}(a, b)$ 皆存在且不為 0。 若 $f$ 在 $(a, b)$ 有極大, 則 $f$ 之圖形在平面 $x=a$ 及 $y=b$ 之 截距, 必皆為下凹, 且

\begin{displaymath} f_{11}(a, b)<0,\ \ f_{22}(a, b)<0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

同理, 若 $f$ 在 $(a, b)$ 有極小, 則必有

\begin{displaymath} f_{11}(a, b)>0,\ \ f_{22}(a, b)>0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

而若 $f_{11}(a, b)$ 與 $f_{22}(a, b)$ 符號相反, 則 $f$ 在 $(a, b)$ 無極值。 我們敘述此結果如下, 此即兩變數之二階導數極值判定法。

  a

定理 1.設 $f$ 為一二變數之平滑函數, 定義在 $R^2$ 中 一開集合 $S$。 且令

\begin{displaymath} F(Q)=f_{11}(Q) f_{22}(Q)-f_{12}^2(Q), \end{displaymath}

(7.1)

為一定義域為 $S$ 之函數. 設 $P\in S$ 且滿足

\begin{displaymath} f_1(P)=f_2(P)=0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

則

(i) 若 $F(P)>0$ 且 $f_{11}(P)<0$, 則 $f$ 在 $P$ 有極大;

(ii) 若 $F(P)>0$ 且 $f_{11}(P)>0$, 則 $f$ 在 $P$ 有極小;

(iii) 若 $F(P)<0$, 則 $f$ 在 $P$ 無極值, $P$ 為一鞍點;

(iv) 若 $F(P)=0$, 則此法失效。                                                     證明

  a

　　若 $F(P)>0$, 則 $f_{11}(P)f_{22}(P)$ 必為正, 因此 $f_{11}(P)$ 與 $f_{22}(P)$ 須同號。 故定理 1 之 (i) 及 (ii) 中的 $f_{11}(P)$ 皆可以 $f_{22}(P)$ 取代。


例 3.令

\begin{displaymath} f(x, y)=x^3-12xy+8y^3, \end{displaymath}

求 $f$ 之極值。 

例 4.令 $f(x, y)=x^2-y^2$, 求 $f$ 之極值。 


例 5.令 $f(x, y)=x^2-2xy^2+y^4-y^5$, 求 $f$ 之極值。 


例 6.令 $f(x, y)=x^2+y^2+y^3$, 求 $f$ 之極值。 


例 7.設長方體之三邊長之和固定, 試決定各邊長使其體積最大。 

　　其次我們來看有限制的極值的問題, 並介紹 Lagrange 乘數法 。 我們先看底下兩個例子。 第一例為, 給定一不通過原點之曲面 $S$, 找出 $S$ 上最接近原點者。 第二例為, 令 $f(x, y, z)$ 表在點 $(x, y, z)$ 之溫度, 給定一三維空間中的曲線 $C$, 求在此曲線上溫度最高及最低點。

　　上二例的一般形式為: 決定一多變函數 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 之極值, 其中 $(x_1,\cdots,x_n)$ 限制在 $f$ 之定義域的一子集。 在第一例中, 即要求函數 $f(x$, $y$, $z)$$=(x^2$ $+y^2+z^2)^{1/2}$ 之極小值, 其中 $(x, y, z)$ 限制在某一給定 的曲面 $S$ 上。 在第二例中, 所限制的集合為一曲線。

　　這類有限制的極值問題, 一般來說並不容易解, 此因並無一通則可解出所有問題。 當受限制的集合有極簡單的結構, 例如, 前二例中的一曲面或一曲線, 則有特殊的方法適用。 這就是所謂 Lagrange 乘數法。 我們先描述此方法的一般形式, 然後再以幾何的討論, 來說明此法行得通。

　　Lagrange 乘數法: 設有一函數 $f(x_1,\cdots,x_n)$, 則在

\begin{displaymath} g_1(x_1,\cdots,x_n)=0,\cdots, g_m(x_1,\cdots,x_n)=0, \end{displaymath}

(7.2)

其中 $m<n$, 之限制下, 使 $f$ 有相對極值的點須滿足

\begin{displaymath} \bigtriangledown f=\lambda _1\bigtriangledown g_1+\cdots+\lambda _m\bigtriangledown g_m, \end{displaymath}

(7.3)

其中 $\lambda _1,\cdots,\lambda _m$ 為常數。

　　欲決定極值, 我們考慮由 (7.2) 中的 $m$ 個限制方程式及 (7.3) 中的 $n$ 個方程式, 總共 $m+n$ 個方程式。 設法解出 $m+n$ 個未知數 $x_1,\cdots,x_n$ 及 $\lambda _1,\cdots,\lambda _m$。 其中解出的 $x_1,\cdots,x_n$ 便有可能是 $f$ 之極值。 在解的過程中, 我們藉助 $\lambda _1,\cdots,\lambda _m$, 此 $m$ 個數值解稱為 Lagrange 乘數。 每一個限制式均需要一個乘數。 函數 $f$ 及 $g_1,\cdots \linebreak ,g_m$ 均設為可微。 此法只有限制式的數目 $m$ 小於變數個數 $n$, 且並非所有限制函數 $g_1,\cdots,g_m$, 對 $x_1,\cdots,x_n$ 中的任意 $m$ 個 在極值處的 Jacobian皆為 0 才有效。 底下我們以幾何的討論來說明此法為何成立。

　　在前述第一例中, 我們欲決定在一給定的曲面 $S$ 中, 最接近原點者。 而三維空間中一點 $(x, y, z)$ 距原點之距離為 $r$, 若且唯若它落在半徑為 $r$ 的球上, 即

\begin{displaymath} x^2+y^2+z^2=r^2\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

在此, 對一給定的 $c$,

\begin{displaymath} L(c)=\{(x_1,\cdots,x_n)\vert f(x_1,\cdots,x_n)=c\} \end{displaymath}

稱為函數 $f$ 之一等位面 。 球面 $x^2+y^2+z^2=r^2$, 即為函數 $f(x, y, z)=(x^2+y^2+z^2)^{1/2}$ 之一等位面。 我們便是要求 $f$ 之極小值。

　　若由 $r=0$ 出發, 逐漸讓 $r$ 增大, 直到等位面第一次接觸到所給的曲面 $S$, 則每一接觸點, 皆為 $S$ 上最接近原點者。 欲決定那些接觸點的座標, 我們假設 $S$ 為由一些方程式 $g(x, y, z)=0$ 所描述。 若在每一接觸點 $S$ 皆有切平面, 此切平面亦必為接觸點的 等位面的切平面。 因此, 在一接觸點, 曲面 $g(x, y, z)=0$ 之梯度向量 $\bigtriangledown g(x, y, z)$, 與等位面 $f(x, y, z)=r$ 之梯度向量必須平行。 因此存在一常數 $\lambda $, 使得在每一接觸點

\begin{displaymath} \bigtriangledown f(x, y, z)=\lambda \bigtriangledown g(x, y, z)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

此即有一限制式下的 Lagrange 方法中的 (7.3) 式。

　　接著來看前述的第二例。 我們想在一給定的曲線 $C$ 上找溫度函數 $f(x, y, z)$ 之 極值。 若將曲線 $C$ 視為二曲面

\begin{displaymath} g_1(x, y, z)=0\ \mbox{及}\ g_2(x, y, z)=0 \end{displaymath}

之交集, 則我們有一在二限制式下的極值問題。 二梯度向量 $\bigtriangledown g_1$ 及 $\bigtriangledown g_2$ 分別為上述二曲面之法向量, 故亦為交集曲線 $C$ 之法向量。 稍後我們證明溫度函數 $f$ 之 梯度向量 $\bigtriangledown f$, 在極值處亦為 $C$ 之法向量。 故 $\bigtriangledown f$ 與 $\bigtriangledown g_1$ 及 $\bigtriangledown g_2$ 在同一平面上。 故若 $\bigtriangledown g_1$ 及 $\bigtriangledown g_2$ 為二獨立向量, 則 $\bigtriangledown f$ 可表示為 $\bigtriangledown g_1$ 及 $\bigtriangledown g_2$ 之線性組合, 即

\begin{displaymath} \bigtriangledown f=\lambda _1\bigtriangledown g_1+\lambda _2\bigtriangledown g_2\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

此即有二限制式下的 (7.3) 式。

　　欲證 $\bigtriangledown f$ 在極值處為 $C$ 之法向量, 設 $C$ 為一向量值函數 $\mbox{\boldmath {$\alpha$}} (t)$ 所描述, 其中 $t\in [a, b]$。 在曲線 $C$ 上, 溫度為一 $t$ 之函數, 如 $\phi(t)=f(\mbox{\boldmath {$\alpha$}}(t))$。若 $\phi$ 在 $[a, b]$ 之某一內點 $t_1$ 有一極值, 則 $\phi'(t_1)=0$。 另一方面, 連鎖規則又給出

\begin{displaymath} \phi'(t)=\bigtriangledown f(\mbox{\boldmath {$\alpha$}}(t))\... ...x{\boldmath {$\alpha$}}'(t)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

此內積在 $t=t_1$ 為 0, 因此 $\bigtriangledown f$ 垂直 $\mbox{\boldmath {$\alpha$}}' (t_1)$。 但 $\mbox{\boldmath {$\alpha$}}' (t_1)$ 與 $C$ 相切, 故 $\bigtriangledown f(\mbox{\boldmath {$\alpha$}}(t_1))$ 落在垂直 $C$ 之平面上。

　　現二梯度向量 $\bigtriangledown g_1$ 及 $\bigtriangledown g_2$ 為獨立, 若且唯若其外積

\begin{displaymath} \left(\frac {\partial (g_1, g_2)}{\partial (y, z)}, \frac {\... ..., y)} \right)\neq (0, 0, 0)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

因此 $\bigtriangledown g_1$ 與 $\bigtriangledown g_2$ 獨立並非表所有上式左側向量之三 Jacobian 皆為 0。 之前我們便已指出, Lagrange 方法只有此條件成立才適用。

　　若 $\bigtriangledown g_1$ 與 $\bigtriangledown g_2$ 相依, 則此法失效。 例如, 求

\begin{displaymath} f(x, y, z)=x^2+y^2 \end{displaymath}

之極值, 限制條件為

\begin{displaymath} g_1(x, y, z)=z=0,\ \ g_2(x, y, z)=z^2-(y-1)^3=0, \end{displaymath}

此二曲面之交集為 $\{(x, 1,0)\vert x\in R\}$ 為一直線。 顯然當 $x=0$ 時, 可使 $f(x, y, z)$ 最小, 即極小值發生在 $(0,1,0)$。 但在此點

\begin{displaymath} \bigtriangledown g_1=(0,0,1),\ \ \bigtriangledown g_2=(0,0,0), \end{displaymath}

且

\begin{displaymath} \bigtriangledown f=(0, 2, 0), \end{displaymath}

並無法找到常數 $\lambda _1$ 及 $\lambda _2$, 使得

\begin{displaymath} \bigtriangledown f=\lambda g_1+\lambda g_2\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

　


例 8.設一救生圈由三部分組成, 中間部分為一圓柱, 前後為二相同的正圓錐, 圓錐的高與圓柱的高等長。 對一給定的表面積, 求此救生圈有最大體積之尺寸。  　　
        

               a

進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 極值。微積分講義第九章，國立高雄大學應用數學系。