線  積  分

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        以前我們用面積的概念, 來解釋一函數在一區間之積分同樣地, 我們也可利用 物理上功 的概念, 來定義一向量值函數在一平滑曲線上的積分這種積分稱為線積分   

  設 $\mbox{\boldmath {$F$}}$ 為一常數的力 , 作用在一沿向量 $\mbox{\boldmath {$v$}}$ 移動之粒子上 則由物理中的知識知, 此力所做的功為 $\mbox{\boldmath {$F$}}\cdot\mbox{\boldmath {$v$}}=\vert\vert\mbox{\boldmath {$F$}}\vert\vert\cdot \vert\vert\mbox{\boldmath {$v$}}\vert\vert\cos\theta $, 其中 $\theta $ $\mbox{\boldmath {$F$}}$ $\mbox{\boldmath {$v$}}$ 之夾角

  現設 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$$R^2$ 中一平滑曲線, 其參數式為

若力與位置有關, 即設在 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 上一點 $(x, y)$ 之力為 $\mbox{\boldmath {$F$}}(x,
y)$且設 $\mbox{\boldmath {$F$}}$ 之二分量為 $A(x, y)$$B(x, y)$, 即

\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath {$F$}}(x, y)=(A(x, y), B(x, y)),
\end{displaymath}

為一 $x$, $y$ 之向量值函數$A(x, y)$$B(x, y)$ 皆連續, 我們想求 $\mbox{\boldmath {$F$}}$ 作用在曲線 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 上的功

  設 $p=\{t_0, t_1,\cdots, t_n\}$$[a, b]$ 之一分割 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}(t_i)=(x(t_i), y(t_i))$, $i=0, 1,\cdots, n$, 將曲線 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 分成 $n$ 段子弧 $i=1, 2,\cdots, n$, 令

且以 $\Delta \mbox{\boldmath {$r$}}_i$ 表連接 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}(t_{i-1})$ $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}({t_i})$ 之向量, 見圖 6.1

圖 6.1.

  對 $\forall i=1,2,\cdots, n$, 由均值定理, 分別存在 $c_i$ $d_i\in
(t_{i-1}, t_i)$, 使得

\begin{displaymath}
\Delta x_i=x'(c_i)\Delta t_i,\ \ \Delta y_i=y'(d_i)\Delta t_i\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}

$P_i=\mbox{\boldmath {$\lambda$}}(c_i)$, $Q_i=\mbox{\boldmath {$\lambda$}}(d_i)$, $i=1, 2,\cdots, n$則對 $\forall i$, 常數向量 $\mbox{\boldmath {$F$}}_i=(A(P_i), B(Q_i))$ 可用來做為 $\mbox{\boldmath {$F$}}(x,
y)$ 沿著 子弧由 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}(t_{i-1})$ $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}(t_i)$ 之近似值 又由 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}(t_{i-1})$ $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}(t_i)$ 之子弧可以 $\Delta \mbox{\boldmath {$r$}}_i$ 來逼近則常數向量 $\mbox{\boldmath {$F$}}_i$ 作用在一沿著 $\Delta \mbox{\boldmath {$r$}}_i$ 移動之粒子所得的功為

\begin{eqnarray*}
\mbox{\boldmath {$F$}}_i\cdot\Delta \mbox{\boldmath {$r$}}_i &...
...a t_i+B(Q_i)y'(d_i)\Delta t_i\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{eqnarray*}

故我們可以和

\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^n A(P_i) x'(c_i)\Delta t_i+\sum_{i=1}^n B(Q_i)y'(d_i)\Delta t_i
\end{displaymath}

(6.1)

做為 $\mbox{\boldmath {$F$}}(x,
y)$ 沿著 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 所做的功之近似值


為函數 $A(x(t), y(t))x'(t)$ 在區間 $[a, b]$ 之一 Riemann 和 同理 (6.1) 中第二個和為函數 $B(x(t), y(t))y'(t)$ 在區間 $[a, b]$ 之一 Riemann 和
故令 $n\rightarrow \infty $, (6.1) 中之二項和趨近至

$\displaystyle \int_a^b (A(x(t), y(t))x'(t)+B(x(t), y(t))y'(t))dt$

(6.2)

$\displaystyle =\int_a^b \mbox{\boldmath {$F$}}(x(t), y(t))\cdot\mbox{\boldmath {$\lambda$}}'(t)dt\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}$                             

 

有時我們也可有下述寫法

\begin{displaymath}
\int_a^b \mbox{\boldmath {$F$}}(x(t), y(t))\cdot\mbox{\boldm...
...x{\boldmath {$\lambda$}}(t)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}

(6.3)

  

定義 1. $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 為一定義在 $[a, b]$ 之平滑曲線, 在每一 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 上的點 $(x, y)$ 有一力 $\mbox{\boldmath {$F$}}(x,
y)$, 則一粒子沿著 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 所得之總功為

\begin{displaymath}
\int_a^b \mbox{\boldmath {$F$}}(x(t), y(t))\cdot\mbox{\boldmath {$\lambda$}}'(t)dt\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}

而上述積分也稱為 $\mbox{\boldmath {$F$}}$ $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 上的線積分

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  若 $\mbox{\boldmath {$F$}}(x, y)=(A(x, y), B(x, y))$ 且利用 $dx=x'(t)dt$, $dy=y'(t)dt$, 則我們可有一較簡潔的線積分符號, 即

\begin{displaymath}
\int_{\mbox{\small\boldmath {$\lambda$}}}(Adx+Bdy),
\end{displaymath}

其中 $A$$B$ 當然必須在 $[a, b]$ 可積

  若 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 為三維中一平滑曲線, 且有一三維的向量值函數 , 定義在 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 上每一點 $(x, y, z)$

\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath {$F$}}(x, y, z)=(A(x, y, z), B(x, y, z), C(x, y, z)),
\end{displaymath}

則對應的線積分可寫成

\begin{displaymath}
\int_{\mbox{\small\boldmath {$\lambda$}}}(Adx+Bdy+Cdz)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}

  在很多實際應用裡, $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 只假設為逐段平滑, 即 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}(t)$ 有一有界 的導數 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}'(t)$, 除了可能在一些有限的點外, $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}'(t)$ 皆連續


例 1. $\int_{\mbox{\small\boldmath {$\lambda$}}}(x^2ydx+y^3dy)$, 其中 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 為由 (0,0)至 (1,1) 的拋物線 $y=x^2$ 的弧。  


例 2.

\begin{displaymath}
\int_{\mbox{\small\boldmath {$\lambda$}}}(ydx+zdy+xdz),
\end{displaymath}

其中 , 由 $0$$2\pi$  

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進一步閱讀資料:黃文璋(2002). 線積分微積分講義第九章,國立高雄大學應用數學系。