線
積 分
a
以前我們用面積的概念,
來解釋一函數在一區間之積分。同樣地,
我們也可利用 物理上功 的概念,
來定義一向量值函數在一平滑曲線上的積分。這種積分稱為線積分
。
設
為一常數的力 , 作用在一沿向量
移動之粒子上。 則由物理中的知識知, 此力所做的功為
, 其中 表
與
之夾角。
現設
為 中一平滑曲線, 其參數式為
若力與位置有關, 即設在
上一點 之力為
。且設
之二分量為 及 , 即
為一 , 之向量值函數。設 及 皆連續,
我們想求
作用在曲線
上的功。
設
為 之一分割。點
,
, 將曲線
分成 段子弧。對
, 令
且以
表連接
及
之向量,
見圖 6.1。
對
, 由均值定理, 分別存在 及
, 使得
令
,
,
。則對
, 常數向量
可用來做為
沿著 子弧由
至
之近似值 。又由
至
之子弧可以
來逼近。則常數向量
作用在一沿著
移動之粒子所得的功為
故我們可以和
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(6.1)
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做為
沿著
所做的功之近似值。又
為函數
在區間 之一 Riemann 和。
同理 (6.1) 中第二個和為函數
在區間
之一 Riemann 和。
故令
, (6.1) 中之二項和趨近至
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(6.2)
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有時我們也可有下述寫法
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(6.3)
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a
若
且利用 ,
, 則我們可有一較簡潔的線積分符號, 即
其中 及 當然必須在 可積。
若
為三維中一平滑曲線, 且有一三維的向量值函數
, 定義在
上每一點 。若
則對應的線積分可寫成
在很多實際應用裡,
只假設為逐段平滑, 即
有一有界 的導數
, 除了可能在一些有限的點外,
皆連續。
例 1.求
, 其中
為由 (0,0)至 (1,1)
的拋物線 的弧。
例 2.求
其中
, 由 至 。