線  積  分

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        以前我們用面積的概念, 來解釋一函數在一區間之積分。同樣地, 我們也可利用 物理上功 的概念, 來定義一向量值函數在一平滑曲線上的積分。這種積分稱為線積分 。　　

　　設 $\mbox{\boldmath {$F$}}$ 為一常數的力 , 作用在一沿向量 $\mbox{\boldmath {$v$}}$ 移動之粒子上。 則由物理中的知識知, 此力所做的功為 $\mbox{\boldmath {$F$}}\cdot\mbox{\boldmath {$v$}}=\vert\vert\mbox{\boldmath {$F$}}\vert\vert\cdot \vert\vert\mbox{\boldmath {$v$}}\vert\vert\cos\theta $, 其中 $\theta $ 表 $\mbox{\boldmath {$F$}}$ 與 $\mbox{\boldmath {$v$}}$ 之夾角。

　　現設 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 為 $R^2$ 中一平滑曲線, 其參數式為

若力與位置有關, 即設在 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 上一點 $(x, y)$ 之力為 $\mbox{\boldmath {$F$}}(x, y)$。且設 $\mbox{\boldmath {$F$}}$ 之二分量為 $A(x, y)$ 及 $B(x, y)$, 即

\begin{displaymath} \mbox{\boldmath {$F$}}(x, y)=(A(x, y), B(x, y)), \end{displaymath}

為一 $x$, $y$ 之向量值函數。設 $A(x, y)$ 及 $B(x, y)$ 皆連續, 我們想求 $\mbox{\boldmath {$F$}}$ 作用在曲線 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 上的功。

　　設 $p=\{t_0, t_1,\cdots, t_n\}$ 為 $[a, b]$ 之一分割。點 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}(t_i)=(x(t_i), y(t_i))$, $i=0, 1,\cdots, n$, 將曲線 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 分成 $n$ 段子弧。對 $i=1, 2,\cdots, n$, 令

且以 $\Delta \mbox{\boldmath {$r$}}_i$ 表連接 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}(t_{i-1})$ 及 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}({t_i})$ 之向量, 見圖 6.1。

圖 6.1.

　　對 $\forall i=1,2,\cdots, n$, 由均值定理, 分別存在 $c_i$ 及 $d_i\in (t_{i-1}, t_i)$, 使得

\begin{displaymath} \Delta x_i=x'(c_i)\Delta t_i,\ \ \Delta y_i=y'(d_i)\Delta t_i\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

令 $P_i=\mbox{\boldmath {$\lambda$}}(c_i)$, $Q_i=\mbox{\boldmath {$\lambda$}}(d_i)$, $i=1, 2,\cdots, n$。則對 $\forall i$, 常數向量 $\mbox{\boldmath {$F$}}_i=(A(P_i), B(Q_i))$ 可用來做為 $\mbox{\boldmath {$F$}}(x, y)$ 沿著 子弧由 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}(t_{i-1})$ 至 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}(t_i)$ 之近似值 。又由 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}(t_{i-1})$ 至 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}(t_i)$ 之子弧可以 $\Delta \mbox{\boldmath {$r$}}_i$ 來逼近。則常數向量 $\mbox{\boldmath {$F$}}_i$ 作用在一沿著 $\Delta \mbox{\boldmath {$r$}}_i$ 移動之粒子所得的功為

\begin{eqnarray*} \mbox{\boldmath {$F$}}_i\cdot\Delta \mbox{\boldmath {$r$}}_i &... ...a t_i+B(Q_i)y'(d_i)\Delta t_i\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{eqnarray*}

故我們可以和

\begin{displaymath} \sum_{i=1}^n A(P_i) x'(c_i)\Delta t_i+\sum_{i=1}^n B(Q_i)y'(d_i)\Delta t_i \end{displaymath}

(6.1)

做為 $\mbox{\boldmath {$F$}}(x, y)$ 沿著 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 所做的功之近似值。又


為函數 $A(x(t), y(t))x'(t)$ 在區間 $[a, b]$ 之一 Riemann 和。 同理 (6.1) 中第二個和為函數 $B(x(t), y(t))y'(t)$ 在區間 $[a, b]$ 之一 Riemann 和。
故令 $n\rightarrow \infty $, (6.1) 中之二項和趨近至

$\displaystyle \int_a^b (A(x(t), y(t))x'(t)+B(x(t), y(t))y'(t))dt$

(6.2)

$\displaystyle =\int_a^b \mbox{\boldmath {$F$}}(x(t), y(t))\cdot\mbox{\boldmath {$\lambda$}}'(t)dt\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}$                             

 

有時我們也可有下述寫法

\begin{displaymath} \int_a^b \mbox{\boldmath {$F$}}(x(t), y(t))\cdot\mbox{\boldm... ...x{\boldmath {$\lambda$}}(t)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

(6.3)

　　

定義 1.設 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 為一定義在 $[a, b]$ 之平滑曲線, 在每一 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 上的點 $(x, y)$ 有一力 $\mbox{\boldmath {$F$}}(x, y)$, 則一粒子沿著 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 所得之總功為

\begin{displaymath} \int_a^b \mbox{\boldmath {$F$}}(x(t), y(t))\cdot\mbox{\boldmath {$\lambda$}}'(t)dt\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

而上述積分也稱為 $\mbox{\boldmath {$F$}}$ 在 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 上的線積分。

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　　若 $\mbox{\boldmath {$F$}}(x, y)=(A(x, y), B(x, y))$ 且利用 $dx=x'(t)dt$, $dy=y'(t)dt$, 則我們可有一較簡潔的線積分符號, 即

\begin{displaymath} \int_{\mbox{\small\boldmath {$\lambda$}}}(Adx+Bdy), \end{displaymath}

其中 $A$ 及 $B$ 當然必須在 $[a, b]$ 可積。

　　若 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 為三維中一平滑曲線, 且有一三維的向量值函數 , 定義在 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 上每一點 $(x, y, z)$。若

\begin{displaymath} \mbox{\boldmath {$F$}}(x, y, z)=(A(x, y, z), B(x, y, z), C(x, y, z)), \end{displaymath}

則對應的線積分可寫成

\begin{displaymath} \int_{\mbox{\small\boldmath {$\lambda$}}}(Adx+Bdy+Cdz)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

　　在很多實際應用裡, $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 只假設為逐段平滑, 即 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}(t)$ 有一有界 的導數 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}'(t)$, 除了可能在一些有限的點外, $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}'(t)$ 皆連續。


例 1.求 $\int_{\mbox{\small\boldmath {$\lambda$}}}(x^2ydx+y^3dy)$, 其中 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 為由 (0,0)至 (1,1) 的拋物線 $y=x^2$ 的弧。　　


例 2.求

\begin{displaymath} \int_{\mbox{\small\boldmath {$\lambda$}}}(ydx+zdy+xdz), \end{displaymath}

其中 , 由 $0$ 至 $2\pi$。  

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進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 線積分。微積分講義第九章，國立高雄大學應用數學系。