前   言  a

　　在第二章我們一開始定義積分 $\int_a^b f(x)dx$ 時, 是針對一定義在一有 限區間 $[a, b]$ 的有界函數 $f$。接著在第七章, 我們推廣到積分的區間可以是無限且函數也可以 不為有界。在上一章, 我們又將積分的概念推廣到線積分。本章我們將做另 一方向的推廣。我們考慮一定義在 $n$ 維空間中一集合 $S$ 之純量函數 $f$, $f$ 在 $S$ 上之積分, 稱為 $n$ 重積分並以

表之, 其中有 $n$ 個積分符號, 或簡單地只以 $\int_S f(\mbox{\boldmath {$x$}})d\mbox{\boldmath {$x$}}$ 表之, 其中 $\mbox{\boldmath {$x$}}=(x_1,\cdots,x_n)$。若 $n=2$ 時, 我們往往以 $(x, y)$ 取代 , 並以

表示二重積分, 同理以

表示三重積分。在此 $S$ 稱為積分區域 。如同在一維的情況, 符號 $dx$、 $dy$ 及 等, 在重積分的定義裡並未扮演任何角色, 不過 在計算及做積分轉換時, 卻很有用。

　　多變函數的微分運算與單變函數的微分, 有許多類似的性質。但有關多變數的積分, 卻複雜不少。例如, 對一三個變數的函數 $f(x,y ,z)$, 除了線積分、三重積分, 我們還可考慮在一曲面的積分 。即使如此, 所有各類的積分, 均與單變函數的積分關係密切。為了簡明, 我們通常只考慮兩個變數的情況, 但所有的討論都可立即推廣到 $n$ 個變數。

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進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 重積分。微積分講義第十章，國立高雄大學應用數學系。