10.2二重積分之定義

二重積分之定義 a

　　設為平面上一矩形, 且為及之笛卡兒乘積, 即

$\begin{displaymath} S=[a, b]\times [c, d]=\{(x, y)\vert x\in [a, b], y\in [c, d]\}\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

又設及分別為及之分割, 其中

$\begin{displaymath} P_1=\{x_0,x_1,\cdots,x_n\},\ \ P_2=\{y_0,y_1,\cdots,y_m\}\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

笛卡兒乘積 $P_1\times P_2$ 便稱為之一分割, 且將分割成個子矩形。之一分割若滿足 $P\subseteq P'$ , 便稱為之一細分。設為一定義在上之函數, 若存在之一分割 , 使得在每一開的子矩形上為常數, 便稱為一階梯函數。此處一不包含邊界之矩形便稱開的矩形。一階梯函數在其每一子矩形之邊界的值, 在積分中並不重要。易見若及為上之二階梯函數, 則其線性組合仍為一階梯函數。

　　現設 $P=P_1\times P_2$ 為之一分割, 其中 $P_1=\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}$ , $P_2=\{y_0,y_1,\cdots,y_m\}$ , 而為一在上之階梯函數, 即在前述分割中之每一子矩形為常數。以 $S_{ij}$ 表 $[x_{i-1},x_i]\times [y_{j-1}, y_j]$ , 且設在 $S_{ij}$ 之內點取值 $c_{ij}$ 。若 $c_{ij}>0$ , 則以 $S_{ij}$ 為底, $c_{ij}$ 為高之長方體之體積為 $c_{ij}(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})$ 。現將所有前述乘積加起來, 便定義為在上之二重積分。即

$\begin{displaymath} \int\!\!\int_S f=\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n c_{ij}(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

(2.1)

如同在單變數的情況, 若以之一細分取代 , 則積分值不變, 亦即積分值與分割無關, 只要在每一開的子矩形為常數。

　　令 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$ , $\Delta y_j=y_j-y_{j-1}$ , $i=1,\cdots,n$ , $j=1,\cdots,m$ , 則 (2.1) 成為

$\begin{displaymath} \int\!\!\int_S f=\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n c_{ij}\Delta x_i\Delta y_j\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

(2.2)

上式左側有時也寫成

$\begin{displaymath} \int\!\!\int_S f(x, y)dxdy, \end{displaymath}$

這樣寫的好處是易於與 (2.2) 右側對照, 提醒我們此和之由來。

　　若在之內點皆為常數, 譬如說

$\begin{displaymath} f(x, y)=k,\ \forall x\in(a, b),\ y\in (c, d), \end{displaymath}$

則

$\begin{displaymath} \int\!\!\int_S f =k(b-a)(d-c)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

(2.3)

又因 $b-a=\int_a^b dx$ , $d-c=\int_c^d dy$ , 故 (2.3) 式可改寫為

$\begin{displaymath} \int\!\!\int_S f =\int_c^d (\int_a^b f(x, y)dx)dy=\int_a^b(\int_c^d f(x, y)dy)dx\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

(2.4)

也就是對一常數函數, 我們可以二次逐次積分, 來求一二重積分。此二者本質上是不同的, 二次逐次積分乃是在做兩次單變函數的積分。稍後大家會看到, 雖有時計算也是有些不易, 但每一次我們只是在做一單變函數的積分, 其過程內涵上較重積分簡單多了。各位可試以第二章引進單變函數的積分的方式, 先定義下和及上和, 然後定義下積分及上積分, 而當二者相等, 便稱在可積, 其共同值即為在之二重積分的值。底下我們稍改變一下方式, 這也是許多教科書引進單變函數積分的方式, 不過原理其實是一樣的。我們先定義階梯函數之積分, 然後再定義較一般的函數之積分。但仍如單變數的情況, 此定義並無法有效地求積分值。幸好我們遇到的重積分, 大都可化為逐次積分。

　　對一階梯函數 ,

$\displaystyle \int\!\!\int_{S_{ij}}f=\int_{y_{j-1}}^{y_j}(\int_{x_{i-1}}^{x_i}f... ...-1}}^{x_i}(\int_{y_{j-1}}^{y_j} f(x, y)dy)dx\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}$

(2.5)

底下這些關於階梯函數的性質, 都可由 (2.2) 式或利用 (2.5) 證出。定理中之函數及皆為定義在矩形上之階梯函數, 又為一非退化之矩形, 即不為一點或一線段。

定理 1.(線性). 對任二常數及 ,

$\begin{eqnarray*} &&\int\!\!\int_S(c_1g(x, y)+c_2 h(x, y))dxdy \\ &&= c_1\int\!... ...c_2\int\!\!\int_S h(x, y)dxdy\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{eqnarray*}$

定理 2.(加性). 設可分成二矩形及 , 則

$\begin{displaymath} \int\!\!\int_S g(x, y)dxdy =\int\!\!\int_{S_1} g(x, y)dxdy+ \int\!\!\int_{S_2} g(x, y)dxdy\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

定理 3.(比較定理). 若 $g(x, y)\leq h(x, y)$ , $\forall (x, y)\in Q$ , 則

$\begin{displaymath} \int\!\!\int_S g(x, y)dxdy\leq \int\!\!\int_S h(x, y)dxdy\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

特別地, 若 $h(x, y)\geq 0$ , $\forall (x, y)\in Q$ , 則

$\begin{displaymath} \int\!\!\int_S h(x, y)dxdy\geq 0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

　　其次我們定義一在一矩形上為有界之函數的二重積分。設為一在矩形上之有界函數, 即設

$\begin{displaymath} \vert f(x, y)\vert\leq M,\ \forall (x, y)\in S\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

則介於二階梯函數與之間, 其中 , , , , $\forall$ , $y)\in$ 。若存在唯一之實數 , 使得

$\begin{displaymath} \int\!\!\int_S g\leq I\leq \int\!\!\int_S h, \end{displaymath}$

(2.6)

對所有滿足

$\begin{displaymath} g(x, y)\leq f(x, y)\leq h(x, y),\ \forall (x, y)\in S, \end{displaymath}$

(2.7)

之階梯函數、成立, 則稱在上可積, 且積分值為 , 即

$\begin{displaymath} \int\!\!\int_S f=I\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

底下提到的及仍皆為階梯函數。令

$\begin{eqnarray*} G &=& \sup\{\int\!\!\int_S g, g(x, y)< f(x, y),\ \forall (x, y... ...x, y),\ \forall (x, y)\in S\}\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{eqnarray*}$

因為一有界函數, 故及皆非空集合。又因 $g(x, y)\leq h(x, y)$ , $\forall (x, y)\in S$ , 故

$\begin{displaymath} \int\!\!\int_S g\leq \int\!\!\int_S h, \end{displaymath}$

因此中每一元素皆小於或等於中任一元素。即知有最小上界, 而有最大下界, 並滿足

$\begin{displaymath} \int\!\!\int_S g\leq \mbox{lub} G\leq \mbox{glb} H\leq \int\!\!\int_S h, \end{displaymath}$

只要 , 滿足 (2.7) 式。故知 $\mbox{lub} G$ 及 $\mbox{glb} H$ 皆滿足 (2.6) 式。結論是, 在上可積若且唯若 $\mbox{lub} G$ $\mbox{glb} H$ , 且此時

$\begin{displaymath} \int\!\!\int_S f=\mbox{lub} G=\mbox{glb} H\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

我們以 $\bar{I}(f)$ 表 $\mbox{lub} G$ , 並稱為在中之下積分, 以 $I\nolinebreak\hspace{1.07cm} \mbox{\raisebox{0.1cm} {}} \hspace{-1.2cm} \mbox{\raisebox{-0.27cm} {$\bar{}$}}\hspace{0.1cm}(f)$ 表 $\mbox{glb} H$ , 並稱之為之中之上積分。由以上的討論便得下述定理。

定理 4.設為一在矩形上之有界函數, 則其上積分及下積分滿足

$\begin{displaymath} \int\!\!\int_S g\leq I\nolinebreak\hspace{1.07cm} \mbox{\rai... ...bar{}$}}\hspace{0.1cm}(f)\leq \bar{I}(f)\leq \int\!\!\int_S h, \end{displaymath}$

其中、為二滿足 (2.7) 之階梯函數。而在上可積, 若且唯若

$\begin{displaymath} I\nolinebreak\hspace{1.07cm} \mbox{\raisebox{0.1cm} {}} \hsp... ...ox{\raisebox{-0.27cm} {$\bar{}$}}\hspace{0.1cm}(f)=\bar{I}(f), \end{displaymath}$

此時,

$\begin{displaymath} \int\!\!\int_S f=I\nolinebreak\hspace{1.07cm} \mbox{\raisebo... ...hspace{0.1cm}(f)=\bar{I}(f)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

a　　我們可看出若要依重積分的定義, 來求積分值, 將是一件艱鉅的工作。底下的定理, 便提供一經由二次逐次積分來求二重積分的值之方法。

定理 5.設為一定義在矩形 $S=[a, b]\times [c, d]$ 之有界函數。且設在可積。對 $\forall y\in [c, d]$ , 設 $\int_a^b f(x, y)dx$ 存在, 且以表其值。則若 $\int_c^d A(y)dy$ 存在, 其值便等於在上之二重積分, 即

$\begin{displaymath} \int\!\!\int_S f(x, y)dxdy=\int_c^d(\int_a^b f(x, y)dx)dy\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

(2.8)

　　在利用 (2.8) 式求二重積分時, 我們先將固定, 而將對由至積分, 然後再將所得之一的函數, 對由至積分。在類似的條件下, 即設 $\int_c^d f(x, y)dy$ 存在, $\forall x\in [a, b]$ , 且設此積分在可積, 則可將先對再對積分, 且

$\begin{displaymath} \int\!\!\int_S f(x, y)dxdy=\int_a^b(\int_c^d f(x, y)dy)dx\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

(2.9)

而若二條件皆滿足, 則

$\begin{eqnarray*} \int\!\!\int_S f(x, y)dxdy &=& \int_c^d(\int_a^b f(x, y)dx)dy \\ &=& \int_a^b(\int_c^d f(x, y)dy)dx, \end{eqnarray*}$

即可交換積分順序。讀者也可試將此結果與第九章定理 8.4 比較, 此處交換積分順序所需條件顯然較弱。

　　我們也可對定理 5 給一幾何的解釋。若為非負, 則三維空間中的點的集合, 其中 $(x, y)\in S$ , $0\leq z\leq f(x, y)$ , 稱為在上之縱集。此集合以表之, 它包含所有在曲面之下, 而在矩形之上的所有點。對 $\forall y\in [c, d]$ , 積分 $A(y)=\int_a^b f(x, y)dx$ , 為被一平行 - 平面之平面, 所截出之截面的面積。又因截面積 , 在可積, 故由 6.2 節之結果知, $\int_a^b A(y)dy$ 即等於之體積。故當為非負時, 定理 5 證明在上之縱集之體積, 即為在之重積分。