微　　導

  a

        設 $f$ 為一二變數函數, 且 $D_1f(P)$ 及 $D_2f(P)$ 皆存在, 其中 $P\in R^2$。則 $f$ 在 $P$ 之梯度 以 $\bigtriangledown f(P)$ 表之 , 其定義為

\begin{displaymath} \bigtriangledown f(P)=(D_1 f(P), D_2 f(P))\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

(4.1)

　　例如, 若 $f(x, y)=x^2-3xy+y^3$, 則

\begin{displaymath} D_1 f(x, y)=2x-3y,\ D_2 f(x, y)=-3x+3y^2, \end{displaymath}

且

\begin{displaymath} \bigtriangledown f(x, y)=(2x-3y, -3x+3y^2)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

在第四章對一單變數函數 $g$, 我們曾定義其微導 $dg=g'(x)dx$。
　　故 $dg$ 為 二變數 $x$ 及 $dx$ 之函數。對二變數函數 $f$, 直觀上我們可定義其微導 $df$ 為

\begin{displaymath} df=f_xdx+f_ydy\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

故 $df$ 為一四變數 $x$, $y$, $dx$ 及 $dy$ 之函數。若我們注意到如上定義之 $df$, 為 $\bigtriangledown f(x, y)=(f_x, f_y)$ 與向量 $(dx, dy)$ 之內積, 則下述定義應是很自然的。　　

  a

一二變數函數 $f$ 之微導 $df$ 之定義為

\begin{displaymath} df(P, \mbox{\boldmath {$v$}})=\bigtriangledown f(P)\cdot\mbox{\boldmath {$v$}}, \end{displaymath}

(4.2)

其中 $P\in R^2$, $\mbox{\boldmath {$v$}}$ 為一二維向量。

  而 $df$ 之定義域為所有 $(P, \mbox{\boldmath {$v$}})$ 之集合, 只要 $\bigtriangledown f(P)$ 存在。

　　

設 $f$ 為一二變數函數, 若

\begin{displaymath} \lim_{\vert\vert\mbox{\small\boldmath {$v$}}\vert\vert\to 0}... ...ldmath {$v$}})}{\vert\vert\mbox{\boldmath {$v$}}\vert\vert}=0, \end{displaymath}

(4.3)

則稱 $f$ 在 $P$ 可微。

  a

　　底下來看, 一二變數函數之微導, 與一單變函數之微導之間的類似關係。設 $f$ 在 $P$ 點可微, 且令

\begin{displaymath} g(\mbox{\boldmath {$v$}})=f(P)+df(P, \mbox{\boldmath {$v$}})\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

則由 (4.3) 式,

\begin{displaymath} \lim_{\vert\vert\mbox{\small\boldmath {$v$}}\vert\vert\to 0}... ...oldmath {$v$}}\vert\vert}=0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

故 $\forall \varepsilon >0$, 存在一開的二維球 $B(P; \delta)$, 使得

\begin{displaymath} \vert f(P+\mbox{\boldmath {$v$}})-g(\mbox{\boldmath {$v$}})\... ...ath {$v$}}\vert\vert<\delta\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

故只要 $\vert\vert\mbox{\boldmath {$v$}}\vert\vert$ 夠小, $g(\mbox{\boldmath {$v$}})=f(P)+df(P,\mbox{\boldmath {$v$}})$ 為 $f(P+\mbox{\boldmath {$v$}})$ 之一很好的估計。　　此類如對一單變之可微函數 $\eta$, 只要 $dx$ 夠小, 則 $\eta(x)+d\eta$ 為 $\eta(x+dx)$ 之一 很好的估計。


例 1.求 $\sqrt {(3.01)^2+(4.02)^2}$ 之一近似值。 

　　值得注意的是, 當 $\bigtriangledown f(P)$ 存在, 即 $f$ 在 $P$ 之一階偏導數皆存在, 並不一定保證 $f$ 在 $P$ 可微

例 2.令 $f(x, y)=\sqrt {\vert xy\vert}$,試求$f$在 $(0,0)$之一階偏導數 ,並求$f$ 在 $(0,0)$ 是否可微？  

　

底下我們給一二變數函數可微的充分條件。

a

定理 1.設 $f$ 為一二變數函數, $D_1f$ 及 $D_2 f$ 在一 開球 $B(P; r)$ 存在, 且在 $P$ 連續. 則 $f$ 在 $P$ 可微。   證明

  a

　　上定理指出, 在適當的條件下, 偏導數存在會導致可微。下定理則指出, 在某些條件下, 函數 $f$ 在某點 $P$ 之微導, 與 $f$ 在 $P$ 點的任一方向之導數會相同。

定理 2.設 $f$ 在 $P$ 點可微, 則對每一非零的二維向 量 $\mbox{\boldmath {$v$}}$, $D_{\mbox{\small\boldmath {$v$}}} f(P)$ 存在, 且

\begin{displaymath} D_{\mbox{\small\boldmath {$v$}}}f(P)=df(P,\mbox{\boldmath {$v$}})\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

(4.7)證明

  a

　　由定理 2 知, 若 $f$ 在 $P$ 可微, 則對 $\forall \mbox{\boldmath {$v$}}=(a, b)$, $a^2+b^2\neq 0$, 因由 (4.2),

\begin{eqnarray*} df(P,\mbox{\boldmath {$v$}}) &=& \bigtriangledown f(P)\cdot \m... ...=& (D_1 f(P), D_2 f(P))\cdot (a, b) \\ &=& aD_1 f(P)+bD_2 f(P), \end{eqnarray*}

故

\begin{displaymath} D_{\mbox{\small\boldmath {$v$}}} f(P)=aD_1 f(P)+bD_2 f(P)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

(4.8)

上式即提供一求在某一方向之導數的簡單方法。

　　設函數 $f(x, y)$ 在 $P$ 可微, 我們想知道何時方向導數最大? 若 $\bigtriangledown f(P)=(0,0)$, 則對每一二維的非零向量 $\mbox{\boldmath {$v$}}$, 由 (4.8) 式知, $D_{\mbox{\small\boldmath {$v$}}} f(P)=0$, 此時 0 同時為 $D_{\mbox{\small\boldmath {$v$}}} f(P)$ 之極大值及極小值。 次若 $\bigtriangledown f(P)\neq (0,0)$, 則利用 (1.3) 式, 對每一單位向量 $\mbox{\boldmath {$v$}}$,

\begin{displaymath} D_{\mbox{\small\boldmath {$v$}}} f(P)=\vert\bigtriangledown ... ...triangledown f(P)\vert\vert\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

　　若取向量 $\mbox{\boldmath {$u$}}=c\bigtriangledown f(P)$, 其中 $c=\vert\vert\bigtriangledown f(P)\vert\vert^{-1}$, 則 $\vert\vert\mbox{\boldmath {$u$}}\vert\vert=1$, 且

\begin{eqnarray*} D_{\mbox{\small\boldmath {$u$}}}f(P) &=&\bigtriangledown f(P)\... ...down f(P)\vert\vert^2=\vert\vert\bigtriangledown f(P)\vert\vert, \end{eqnarray*}

即此時方向導數達到極大值。我們便證出了下述結果。


例 3.設函數 $f$ 在 $P$ 可微, 則 $\vert\vert\bigtriangledown f(P)\vert\vert$ 為 方向導數 $D_{\mbox{\small\boldmath {$v$}}} f(P)$ 之極值。又若 $\bigtriangledown f(P)\neq (0,0)$, 則前述極大值發生在 方向

(4.9)

　
例 4.設 , $P=(1, -1)$, 求方向導數 $D_{\mbox{\boldmath {$v$}}} f(P)$ 之極大值。　

　

　　在單變函數裡, 可微會導致連續, 對一二變數的函數也有類似的結果。

定理 3.設 $f$ 為一二變數的函數, 且 $f$ 在 $P$ 可微, 則 $f$ 在 $P$ 連續。  證明

  a
　　以上的一些結果對三個以上的變數也都適用。例如, 設有一函數 $h(x, y, z)$, 則對 一 $P\in R^3$,

\begin{displaymath} \bigtriangledown h(P)=(D_1 h(P), D_2 h(P), D_3 h(P))\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

微導的定義也仍類似, 即

\begin{displaymath} dh(P, \mbox{\boldmath {$v$}})=\bigtriangledown h(P)\cdot \mbox{\boldmath {$v$}}\raisebox{-1.2mm}{\large . } \end{displaymath}

(4.10)

又若 (4.10) 式成立, 則 $h$ 在 $P$ 可微。

　　在例 2已指出, 於某點之一階偏導數皆存在, 不一定保證函數在該點可微。底下再給一例。

例 5.設

\begin{displaymath} f(x, y)=\left\{\begin{array}{lll} \frac {xy}{x^2+y^2} &\hspa... ...y)=(0,0)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{array}\right. \end{displaymath}

則$f$ 在 (0,0) 不可微。 

　　對一單變數的函數 $f$, 若在某點 $a$ 之導數存在, 則在其圖形上的點 $(a, f(a))$ 之切線亦存在, 且 $f'(a)$ 為該切線之斜率。

　　若 $f$ 為一定義在 $S$ 之二變數函數, 則其圖形為 $R^3$ 中一曲面, 即集合 $\{(x, y, f(x, y))\vert(x, y)\in S\}$。若 $P=(a, b)\in S$, 且 $f$ 在 $P$ 可微, 則對每一二維向量 $\mbox{\boldmath {$v$}}=(r, s)$, $(r, s,D_{\mbox{\small\boldmath {$v$}}}f(P))$ 為 $f$ 在 $P$ 點且方向 $\mbox{\boldmath {$v$}}$ 之 圖形的切向量。特別地,

\begin{displaymath} \mbox{\boldmath {$w$}}_1=(1, 0, D_1f(P))\ \mbox{及}\ \mbox{\boldmath {$w$}}_2=(0, 1,D_2 f(P)) \end{displaymath}

分別為在二方向 $(1, 0)$ 及 $(0, 1)$ 之切向量。

　　若 $\mbox{\boldmath {$v$}}=(r, s)$ 為一非零向量, 則由 (4.8) 式知

\begin{displaymath} D_{\mbox{\small\boldmath {$v$}}} f(P)=r D_1 f(P)+s D_2 f(P)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

因此

\begin{eqnarray*} (r, s, D_{\mbox{\small\boldmath {$v$}}} f(P)) &=& r (1, 0, D_1... ...}_1+s\mbox{\boldmath {$w$}}_2\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{eqnarray*}

但由第 9.3 節之討論知, $(r, s,D_{\mbox{\small\boldmath {$v$}}}f(P))$ 表在 $P$ 點 $f$ 之圖形上的點 $Q=(a, b,f(P))$ 於方向 $\mbox{\boldmath {$v$}}$ 之切向量。因此在 $Q$ 之每一切向量皆為 $\mbox{\boldmath {$w$}}_1$ 及 $\mbox{\boldmath {$w$}}_2$ 之線性組合。換句話說, 過 $Q$ 點之每一切向量皆落在平面 $p$, 其中

\begin{displaymath} p=\{Q+(r\mbox{\boldmath {$w$}}_1+s\mbox{\boldmath {$w$}}_2)\vert r, s\in R\}\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

我們稱 $p$ 為在 $P$ 點之 $f$ 的圖形的切平面。

　　只要寫出 $p$ 之法向量, 便可得到 $p$ 之方程式。 而 $\mbox{\boldmath {$w$}}_1$ 與 $\mbox{\boldmath {$w$}}_2$ 之外積 $\mbox{\boldmath {$w$}}_1\times \mbox{\boldmath {$w$}}_2$ 即為一法向量。在此, 設有二三維向量 $\mbox{\boldmath {$u$}}_1=(l_1, m_1, n_1)$, $\mbox{\boldmath {$u$}}_2=(l_2, m_2, n_2)$, 則 其外積 $\mbox{\boldmath {$u$}}_1\times \mbox{\boldmath {$u$}}_2$ 之定義為

\begin{displaymath} \mbox{\boldmath {$u$}}_1\times \mbox{\boldmath {$u$}}_2=(m_1n_2-m_2n_1, n_1l_2-n_2l_1, l_1m_2-l_2m_1), \end{displaymath}

(4.11)

仍為一三維向量。因此

\begin{displaymath} \mbox{\boldmath {$w$}}_1\times \mbox{\boldmath {$w$}}_2=(-D_1 f(P), -D_2 f(P), 1)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

故若 $P=(x_0, y_0)$, 則在 $P$ 點之 $f$ 的圖形上的切平面方程式為

\begin{displaymath} \hspace*{1cm} D_1 f(P)(x-x_0)+D_2 f(P)(y-y_0)-(z-f(x_0, y_0))=0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

(4.12)


例 6.令 $z=x^2+4y^2$, 求過 $(-2, 1, 8)$ 之切平面。 

　

　　一般而言 $F(x, y, z)=0$ 描述出一曲面, $f$ 在一點 $P=(x_0, y_0,z_0)$ 之梯度為

\begin{displaymath} \bigtriangledown F(P)=(D_1 F(P), D_2 F(P), D_3 F(P)), \end{displaymath}

則過 $P$ 之切平面方程式為

\begin{displaymath} \bigtriangledown F(P)\cdot (\mbox{\boldmath {$x$}}-P)=0, \end{displaymath}

其中 $\mbox{\boldmath {$x$}}=(x, y, z)$。此即為

\begin{displaymath} \hspace*{1cm} D_1F(P)(x-x_0)+ D_2F(P)(y-y_0)+D_3F(P)(z-z_0)=0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

(4.13)

例如, 若 $z=f(x, y)$ 為一函數圖形, 則

\begin{displaymath} F(x, y, z)=0, \end{displaymath}

其中 $F(x, y, z)=f(x, y)-z$。則 $D_1 F=f_x$, $D_2 F=f_y$, $D_3 F=-1$, 此時 (4.13) 即成為 (4.12)。故 (4.13) 為一較 (4.12) 更一般的公式。　　
        

進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 微導。微積分講義第九章，國立高雄大學應用數學系。