方　向　導　數

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        我們先考慮兩個變數的情況。設 $f$ 為一二變數函數, $P$ 為一在 $f$ 之定義 域 $S$ 中的點, $L$ 為 $R^2$ 上一條通過 $P$ 之直線。若將 $R^2$ 視為 $R^3$ 中之 $x$-$y$ 平面, 則通過 $L$ 且垂直 $x$-$y$ 平面之平面 $p$, 交 $f$ 之圖形於 一曲線 $C$, $C$ 稱為 $f$ 之圖形在平面 $p$ 的一截域 。 在 $R^3$ 中, 集合 $\{(x, y, f(x, y))\vert(x, y)\in S\}$ 即為 $f$ 之圖形。由幾何上的性質知, $L$ 可表示為

\begin{displaymath} L=\{P+t\mbox{\boldmath {$v$}}\vert t\in R\}, \end{displaymath}
其中 $\mbox{\boldmath {$v$}}$ 為一二維之非零向量。 $L$ 即為一經過 $P$ 點且方向為 $\mbox{\boldmath {$v$}}$ 之直線。又對一向量 $\mbox{\boldmath {$v$}}$, 我們以 $\mbox{\boldmath {$v$}}=(v_1, v_2)$ 表其二分量分別為 $v_1$ 及 $v_2$。

　　若將 $f(P+t\mbox{\boldmath {$v$}})$ 視為一 $t$ 之函數, 則此函數在 $t=0$ 之導數以 $D_{\mbox{\small\boldmath {$v$}}}f(P)$ 表之。即

\begin{displaymath} D_{\mbox{\small\boldmath {$v$}}}f(P)=\lim_{t\to 0}\frac {f(P... ...{\boldmath {$v$}})-f(P)}{t}\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath} (3.1)
$D_{\mbox{\small\boldmath {$v$}}}f(P)$ 便稱為 $f$ 在 $P$ 點且方向為 $\mbox{\boldmath {$v$}}$ 之導數。若令 $g(t)=f(P+t\mbox{\boldmath {$v$}})$, 則 (3.1) 之右側即為 $g'(0)$, 故
\begin{displaymath} D_{\mbox{\small\boldmath {$v$}}}f(P)=g'(0)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath} (3.2)
又若將 $L$ 取為一座標軸, $P$ 取為原點, 另一軸取為與 $z$ 軸平行, 則 $C$ 即為 在平面 $p$ 上 $g$ 之圖形。


例 1.令 $f(x, y)=x^2-xy+5y$。 求 $f$ 在 $P=(-1,2)$ 且方向 $\mbox{\boldmath {$v$}}=(3, -4)$ 之導數。 

　

　　仍令 $g(t)=f(P+t\mbox{\boldmath {$v$}})$, 且令 $h(t)=g(ct)=f(P+tc\mbox{\boldmath {$v$}})$, $c\in R$, 則由連鎖規則得 $h'(t)=cg'(ct)$。令 $t=0$, 即證出

\begin{displaymath} D_{c\mbox{\small\boldmath {$v$}}}f(P)=h'(0)=cg'(0)=cD_{\mbox{\small\boldmath {$v$}}}f(P)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}
因此
\begin{displaymath} D_{c\mbox{\small\boldmath {$v$}}}f(P)=cD_{\mbox{\small\boldmath {$v$}}}f(P)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath} (3.3)

　　若 $\mbox{\boldmath {$v$}}$ 為一單位向量, 即 $\vert\vert\mbox{\boldmath {$v$}}\vert\vert=1$, 則 $D_{\mbox{\small\boldmath {$v$}}}f(P)$ 稱為 $f$ 在 $P$ 點且方向為 $\mbox{\boldmath {$v$}}$ 之方向導數。

　　若 $P=(a, b)$, $\mbox{\boldmath {$v$}}=(r, s)$, 且 $\vert\vert\mbox{\boldmath {$v$}}\vert\vert=1$, 即 $r^2+s^2=1$, 則 $L$ 之參數式為

\begin{displaymath} x(t)=a+rt,\ \ y(t)=b+st\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}
因此前述曲線 $C$ 上任一點可以 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}(t)=(a+rt, b+st, g(t))$ 表之。再度由幾何 中的結果知, 曲線 $C$ 在點 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}(t)$ 的切向量為
\begin{displaymath} \mbox{\boldmath {$\lambda$}}'(t)=(r, s, g'(t))\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}
又 $Q=\mbox{\boldmath {$\lambda$}}(0)=(a, b,f(P))$ 為對應 $P$ 點之 $f$ 的圖形上的點。故在 $Q$ 點之切向量為 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}'(0)=(r, s,g'(0))$, 此向量即稱為 $f$ 之圖形在 $Q$ 點 且方向為 $\mbox{\boldmath {$v$}}$ 之切向量。此向量之斜率為 $g'(0)/\sqrt {r^2+s^2}=g'(0) =D_{\mbox{\small\boldmath {$v$}}}f(P)$, 其中最後一等式用到 (3.2) 式。故方向導數即為 $f$ 之圖形上, 在所給定方向之切向量的斜率。


例 2.令 $f(x, y)=(x+y)/(x-y)$, 求 $f$ 在 $P=(1, -1)$ 且方向為 $\mbox{\boldmath {$v$}}=(1/2,\sqrt {3}/2)$ 之方向導數。 


例 3.令 $f(x, y, z)=x+xy-yz$, $P=(-1, 1, 2)$, $\mbox{\boldmath {$v$}}=(3, 1, 1)$, 求 $D_{\mbox{\small\boldmath {$v$}}}f(P)$。 

　

　　設有一函數 $f$, 則過 $P$ 點, 只要給一方向 $\mbox{\boldmath {$v$}}$, 便可有一方向導數。其中在 $\mbox{\boldmath {$v$}}_1=(1, 0)$ 及 $\mbox{\boldmath {$v$}}_2=(0, 1)$ 之方向導數特別重要。若 $P=(x, y)$, 則

\begin{eqnarray*} D_{\mbox{\small\boldmath {$v$}}_1}f(x, y) &=& \lim_{t\to 0}\fr... ...}\frac {f(x, y+t)-f(x, y)}{t}\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{eqnarray*}
可看出 $D_{\mbox{\small\boldmath {$v$}}_1}f(x, y)$ 即為固定 $y$, 將 $f$ 視為一 $x$ 之函數的導數, 而
$D_{\mbox{\small\boldmath {$v$}}_2}f(x, y)$ 則為固定 $x$, 將 $f$ 視為一 $y$ 之函數的導數。通常我們以 $D_1f(x, y)$ 表 $D_{\mbox{\small\boldmath {$v$}}_1}f(x$,$y)$, 以 $D_2f(x, y)$ 表 $D_{\mbox{\small\boldmath {$v$}}_2}f(x, y)$. $D_1f$ 及 $D_2f$ 仍為 $(x, y)$ 之函數, 並稱為 $f$ 之一階偏 導數 。
　　當變數為 $x$, $y$ 時, $D_1f$ 及 $D_2f$ 分別稱為 $f$ 對 $x$ 及 $y$ 之一階偏導數。對偏導數尚有一些常用的記號:
\begin{eqnarray*} D_1 f &=& f_1 =\frac {\partial {f}}{\partial {x}}=f_x, \\ D_2... ...artial {f}}{\partial {y}}=f_y\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{eqnarray*}
符號 $\lq\lq \partial ''$ 仍發音 “$d$”, 只是在多變函數裡, 為了與單變函數之導數符號區別, 我們以 $\partial {f}/\partial {x}$ 取代 $df/dx$。


例 4.令 $f(x, y)=x^3-3x^2y+y^2+x-7$, 求 $f$ 之一階偏導數。　

例 5.令 $f(x, y, z)=\log(x^2+y^3+z^4)$, 求 $f$ 之一階 偏導數。  

　　當 $f$ 為一二變數函數, $D_1f$ 及 $D_2f$ 皆仍為二變數函數, 因此我們可再討論 $D_1f$ 及 $D_2f$ 之一階偏導數, 即 $D_1(D_1 f)$, , 及 。此四函數稱為 $f$ 之二階偏導數。 對二階偏導數, 常用的記號為

\begin{eqnarray*} f_{11} &=& D_{11} f =D_1(D_1 f)=\frac {\partial ^2 f}{\partial... ...l ^2 f}{\partial y^2}=f_{yy}\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{eqnarray*}

注意, $f_{12}$ 與 $f_{21}$ 之定義並不相同, 前者為先對 $x$ 微分再對 $y$ 微分, 後者為先對 $y$ 微分再對 $x$ 微分。微分為一關於極限的運算, 而我們已提過多次, 兩個有關極限的運算, 若交換其運算次序, 結果並不一定相同。

　　同理, 若 $f$ 為一三變數函數, 則 $f$ 有 9 個二階偏導數, 當然這些二階偏導數當中, 有些可能會相等。有了二階偏導數, 當然可再定義三階偏導數等高階偏導數。例如, 設有一函數 $f(x, y)$, 則

\begin{eqnarray*} f_{122} &=&D_{122}f=D_2(D_2(D_1 f))=\frac {\partial ^3 f}{\par... ...rtial ^4 f}{\partial y\partial y\partial x\partial y}=f_{yxyy}, \end{eqnarray*}
其中 $f_{2122}$ 也可寫成 $\partial ^4 f/(\partial y^2\partial x\partial y)$, 但卻不一定等於 $\partial ^4 f/(\partial y^3 \partial x)$。


例 6.令 $f(x, y, z)=xe^{yz}+yz e^x$, 求 $f_{213}$ 及 $\partial ^3 f/(\partial x^2 \partial y)$。 


例 7.令

\begin{displaymath} f(x, y)=\frac {xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2},\ \ (x, y)\neq (0, 0),\ f(0, 0)=0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}
求 $D_{12}f(0, 0)$ 及 $D_{21}f(0, 0)$。 

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進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 方向導數。微積分講義第九章，國立高雄大學應用數學系。