極 限 及 連 續

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        單變數裡極限的概念可以很容易地推廣至多變函數。設 $f: S\rightarrow R$, 其中 $S$ 為 $R^n$ 之一子集, 即 $f$ 為一以 $S$ 為定義域 之 $n$ 個變數的函數。則對 $\mbox{\boldmath {$a$}}=(a_1,\cdots, a_n)\in R^n$, 可以 $f(\mbox{\boldmath {$a$}})$ 表 $f(a_1,\cdots, a_n)$. 對一 $b\in R$,

\begin{displaymath} \lim_{\mbox{\small\boldmath {$x$}}\to \mbox{\small\boldmath {$a$}}}f(\mbox{\boldmath {$x$}})=b, \end{displaymath} (2.1)
或寫成時, →, 表
\begin{displaymath} \lim_{\vert\vert\mbox{\small\boldmath {$x$}}-\mbox{\small\bo... ...{\boldmath {$x$}})-b\vert=0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath} (2.2)
(2.2) 式又等價於
\begin{displaymath} \lim_{\vert\vert{\mbox{\small\boldmath {$h$}}}\vert\vert\to ... ...{\boldmath {$h$}})-b\vert=0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath} (2.3)
(2.1) 式也可以鄰域來說明。即 (2.1) 式成立, 若且唯若對每一 $b$ 之鄰域 $N$, 存在一 $B(\mbox{\boldmath {$a$}}; r)$, 使得只要 $\mbox{\boldmath {$x$}}\in B(\mbox{\boldmath {$a$}}; r)\cap S\setminus \{\mbox{\boldmath {$a$}}\}$, 則 $f(\mbox{\boldmath {$x$}})\in N$。若 $\mbox{\boldmath {$x$}}=(x_1,\cdots, x_n)$, $\mbox{\boldmath {$a$}}=(a_1,\cdots,a_n)$, 則

  $\vert\vert\mbox{\boldmath {$x$}}-\mbox{\boldmath {$a$}}\vert\vert =((x_1-a_1)^2+\cdots+(x_n-a_n)^2)^{1/2}$。

故 $\vert\vert\mbox{\boldmath {$x$}}-\mbox{\boldmath {$a$}}\vert\vert\to 0$, 若且唯若 $x_k-a_k\to 0$, $\forall k=1,\cdots,n$。

　　對 $R^2$ 中的點, 若以 $(x, y)$ 表 $\mbox{\boldmath {$x$}}$, $(u, v)$ 表 $\mbox{\boldmath {$a$}}$, 則 (2.1) 式可寫成

\begin{displaymath} \lim_{(x, y)\to (u, v)} f(x, y)=b\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}
至於對 $R^3$ 中的點, 若以 $(x, y, z)$ 表 $\mbox{\boldmath {$x$}}$, $(u, v, w)$ 表 $\mbox{\boldmath {$a$}}$, 則 (2.1) 式可寫成
\begin{displaymath} \lim_{(x, y, z)\to (u, v, w)} f(x, y, z)=b\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

　　一函數 $f$, 若滿足

\begin{displaymath} \lim_{\mbox{\small\boldmath {$x$}}\to\mbox{\small\boldmath {$a$}}} f(\mbox{\boldmath {$x$}})=f(\mbox{\boldmath {$a$}}), \end{displaymath} (2.4)
則稱在 $\mbox{\boldmath {$a$}}$ 連續。 若 $f$ 在 $\forall \mbox{\boldmath {$a$}}\in S$ 連續, 則稱 $f$ 在 $S$ 連續。


例 1.設 $f(x, y)=x$, $x, y\in R$, 試證 $f$ 為一連續函數。  

　　由於上述多變函數之極限及連續的定義, 本質上與單變函數裡的定義是一樣的, 因此可以預期的, 許多以前有的關於極限及連續的結果, 在多維裡也有對應的結果。

定理 1.設 $f$ 及 $g$ 為二 $n$ 變數函數, 且 $\lim_{\mbox{\small\boldmath {$x$}}\to\mbox{\small\boldmath {$a$}}}f(\mbox{\boldmath {$x$}})=b$, 。則

(i) $\lim_{\mbox{\small\boldmath {$x$}}\to\mbox{\small\boldmath {$a$}}}(f(\mbox{\boldmath {$x$}})+g(\mbox{\boldmath {$x$}}))=b+c$;

(ii) $\lim_{\mbox{\small\boldmath {$x$}}\to\mbox{\small\boldmath {$a$}}}\lambda f(\mbox{\boldmath {$x$}})=\lambda b,\ \forall \lambda\in R$;

(iii) $\lim_{\mbox{\small\boldmath {$x$}}\to\mbox{\small\boldmath {$a$}}}f(\mbox{\boldmath {$x$}})\cdot g(\mbox{\boldmath {$x$}})=bc$;

(iv) $\lim_{\mbox{\small\boldmath {$x$}}\to\mbox{\small\boldmath {$a$}}}f(\mbox{\boldmath {$x$}})/g(\mbox{\boldmath {$x$}})=b/c, c\neq 0$。

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定理 2.設 $f$ 及 $g$ 為二 $n$ 變數函數且皆在 $\mbox{\boldmath {$a$}}$ 點連續。則 $f+g$, $f-g$ 及 $fg$ 皆在 $\mbox{\boldmath {$a$}}$ 點連續, 且只要 $g(\mbox{\boldmath {$a$}})\neq 0$, 則 $f/g$ 在 $\mbox{\boldmath {$a$}}$ 點亦連續。

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　　一函數若為一些 $ax_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}$ 之和, 其中 為非負整數, 便稱為一 $n$ 變數之多項函數。 例如,

\begin{displaymath} f(x, y)=x^2-3xy+y^3+5y^2+7 \end{displaymath}

為一二變數之多項式。二多項式之商則為一有理函數。不難看出每一 多項式皆為連續函數, 每一有理式在分母不為 0 處亦連續。經由合成函數之連續性定理, 可得許多函數為連續。因此諸如 , $\log(x^2+y^2)$, $e^{x+y}/(x+y)$ 及 , 在其有定義處皆連續。 故第一個函數在整個 -$y$ 平面皆連續, 第二個函數在 $(x, y)\neq (0, 0)$ 處連續, 第三個函數在 $x+y\neq 0$ 處連續, 第四個函數在 $x^2+y^2$ 不為 $\pi/2$ 之奇數倍處連續。上述這幾個例子顯示, 對一二變數函數, 其不連續點的集合, 可能包含一些隔離的點, 一條曲線或一些曲線。 底下我們給一二變數函數, 對每一變數皆連續, 但若視為一二變數的函數, 則不為連續。


例 2.令

\begin{displaymath} f(x, y)=\left\{\begin{array}{lll} \frac {xy}{x^2+y^2} &\hspa... ...)=(0, 0)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{array}\right. \end{displaymath}
固定 $y=y_0$, 若 $y_0=0$, 則 $f(x,0)=0$, $\forall x\in R$, 故 $f(x, 0)$ 為一連續函數; 若 $y_0\neq 0$, 則 $f(x, y_0)=xy_0/(x^2+y_0^2)$ 為一分母不為 0 之 有理式, 故仍為連續函數。因此對每一固定的 $y$, $f(x, y)$ 為一 $x$ 之連續函數。同理, 若固定 $x$, $f(x, y)$ 仍為一 $y$ 的連續函數。

　　但若 $y=x$, 且 $(x, y)\neq (0, 0)$, 則

\begin{displaymath} f(x, y)=\frac {x^2}{2x^2}=\frac 1 2, \end{displaymath}
故若 $(x, y)$ 沿著直線 $y=x$ 趨近至 $(0,0)$, 則 $f(x, y)\to 1/2\neq f(0, 0)=0$. 因此若視為一二變數的函數, 則 $f$ 在 $(0,0)$ 不連續。事實上, 若 $(x, y)$ 沿著直線 $y=mx$ 趨近至 $(0,0)$, 則 $f(x, y)\to m/(m^2+1)$。在本例裡, 雖
\begin{displaymath} \lim_{y\to 0}(\lim_{x\to 0}f(x, y))=\lim_{y\to 0}f(0, y)=0, \end{displaymath}
且
\begin{displaymath} \lim_{x\to 0}(\lim_{y\to 0}f(x, y))=\lim_{x\to 0}f(x, 0)=0, \end{displaymath}
但 $(x, y)\to (0, 0)$ 時, $f(x, y)$ 之極限卻不存在。 也就是雖二逐次極限皆存在且相等, 但兩變數函數之極限卻有可能不存在。

　　對一二變數的函數, 其不連續性, 較單變數的函數複雜許多。此因對一單變函數, “$x\to a$” 只分為 及 $x\to a-$, 即分別從 $a$ 之右側及左側趨近至 $a$。 但在平面上, $\mbox{\boldmath {$x$}}\to\mbox{\boldmath {$a$}}$, $\mbox{\boldmath {$x$}}$ 可有各種方式趨近至 $\mbox{\boldmath {$a$}}$, 如可沿一直線、或一曲線接近 $\mbox{\boldmath {$a$}}$。 此時要檢驗連續性當然比較麻煩, 但只要發現 $\mbox{\boldmath {$x$}}$ 沿著某一曲線趨近至 $\mbox{\boldmath {$a$}}$ 時, $f(\mbox{\boldmath {$x$}})$ 並不趨近至 $f(\mbox{\boldmath {$a$}})$, 便可判定 $f(\mbox{\boldmath {$x$}})$ 在 $\mbox{\boldmath {$x$}}=\mbox{\boldmath {$a$}}$ 不連續。


例 3.令 $f(x, y)$ $=x^2y/(x^4+y^2)$, $(x, y)$$\neq (0,0)$。當$(x, y)\to (0, 0)$ 時, $f(x, y)$ 之極限是否存在。 



例 4.令

求 $\lim_{(x, y)\to (0,0)} f(x, y)$。 


例 5.分別討論下述二函數之連續性。

(i) $f(x, y)=(1-x^2-y^2)^{-1/2}$;

(ii) $g(x, y)=x\arctan (y/x), x\neq 0, g(0, y)=0$。 


例 6.令

\begin{displaymath} f(x, y)=\frac {x^2y+2x-2xy-4x+y+2}{x^2+y^2-2x+4y+5}, \end{displaymath}
求


 

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進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 極限及連續。微積分講義第九章，國立高雄大學應用數學系。