多 變 函 數 a 至此我們所討論的多半為單變數的實值函數, 如 , 或說一維的函數。我們也可有由 維空間 , 映至 維空間 之向量值的向量變數函數 。在此對 , 。而若 , 則稱此為實值之向量變數函數, 或簡稱純量函數, 有時我們也稱此為多變數函數 。通常可以 或 , 分別表兩個變數及三個變數之實值函數。 例如, 令 對多變函數, 我們之前所討論的關於單變函數的極限、連續、 導數及積分的概念, 許多仍適用。不過有一個原則是: 若一對兩個變數的函數成立的定理, 往往可輕易地推廣到三個以上的變數, 而其證明不用做任何實質上的改變。因此, 許多時候我們只討論兩個變數的函數, 此時也較易以幾何圖形來說明。至於三個以上的變數之函數, 若值得討論, 我們也是會觸及的。
設有兩個 維的點,
,
, 其內積 之定義為
之所有點的集合, 稱為一以 為中心半徑為 之開的 維球, 並以 表之。 若 , 此即為一以 為中心之開區間; 若 , 此即一以 為圓心之圓盤; 若 , 此即一以 為中心之實心球。 設 為 之一子集, 且 。若存在一以 為中心之開的 維球, 使得此球包含於 中, 則 稱為 之一內點。 之所有內點之集合以 int 表之。 一包含 之開集合 , 也稱為 之一鄰域。在此, 若 int, 則 稱為一開集合。 另外, 設 , 則對一 , 若存在一以 為中心之開的 維球, 使此球不包含 的任何點, 則 稱為 之一外點。 之所有外點之集合以 ext 表之. 而一點若既不為 之內點也不為 之外點, 便稱為 之邊界點。 我們並不特別區分點及向量之符號。設
為一
維的點,
為一 維向量, 則
。又對二 維向量
及
, 其內積之定義仍如 (1.1) 式。又可證明
最後, 若 為 之二子集, 則其笛卡兒乘積 之定義為 a |
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