多  變  函  數

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　　至此我們所討論的多半為單變數的實值函數, 如 $f(x)$, 或說一維的函數。我們也可有由 $n$ 維空間 $R^n$, 映至 $m$ 維空間 $R^m$ 之向量值的向量變數函數 。在此對 $\forall n\geq 1$, $R^n=\{(a_1, a_2,\cdots,a_n)\vert a_i\in R, i=1,\cdots,n\}$。而若 $m=1$, 則稱此為實值之向量變數函數, 或簡稱純量函數, 有時我們也稱此為多變數函數 。通常可以 $f(x, y)$ 或 $g(x, y, z)$, 分別表兩個變數及三個變數之實值函數。

　　例如, 令

\begin{displaymath} u=x+y, \end{displaymath}
則對 $\forall x, y\in R$, 有一 $u$ 與其對應; 令
\begin{displaymath} v=\log(1-x^2-y^2-z^2), \end{displaymath}
對 $\forall x, y, z\in R$, 且 $x^2+y^2+z^2<1$, 有一 $v$ 與其對應。一般而言, 若 $z=f(x, y)$, $x, y$ 稱為自變數, $z$ 稱為應變數。  

　　對多變函數, 我們之前所討論的關於單變函數的極限、連續、 導數及積分的概念, 許多仍適用。不過有一個原則是: 若一對兩個變數的函數成立的定理, 往往可輕易地推廣到三個以上的變數, 而其證明不用做任何實質上的改變。因此, 許多時候我們只討論兩個變數的函數, 此時也較易以幾何圖形來說明。至於三個以上的變數之函數, 若值得討論, 我們也是會觸及的。

　　設有兩個 $n$ 維的點, $\mbox{\boldmath {$x$}}=(x_1,\cdots,x_n)$, $\mbox{\boldmath {$y$}}=(y_1,\cdots,y_n)$, 其內積 之定義為

\begin{displaymath} \mbox{\boldmath {$x$}}\cdot\mbox{\boldmath {$y$}}=\sum_{k=1}^{n}x_k y_k\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath} (1.1)
而 $\vert\vert\mbox{\boldmath {$x$}}\vert\vert=(\mbox{\boldmath {$x$}}\cdot\mbox{\boldmath {$x$}})^{1/2}=(\sum_{k=1}^{n}x_k^2)^{1/2}$ 表 $\mbox{\boldmath {$x$}}$ 之範數 , 或說 $\mbox{\boldmath {$x$}}$ 之長度。表 $\mbox{\boldmath {$x$}}$, $\mbox{\boldmath {$y$}}$ 二點之距離。對一 $\mbox{\boldmath {$a$}}\in R^n$ 及一 $r>0$, $R^n$ 中滿足
\begin{displaymath} \vert\vert\mbox{\boldmath {$x$}}-\mbox{\boldmath {$a$}}\vert\vert<r \end{displaymath}

之所有點的集合, 稱為一以 $\mbox{\boldmath {$a$}}$ 為中心半徑為 $r$ 之開的 $n$ 維球, 並以 $B(\mbox{\boldmath {$a$}}; r)$ 表之。 若 $n=1$, 此即為一以 $\mbox{\boldmath {$a$}}$ 為中心之開區間; 若 $n=2$, 此即一以 $\mbox{\boldmath {$a$}}$ 為圓心之圓盤; 若 $n=3$, 此即一以 $\mbox{\boldmath {$a$}}$ 為中心之實心球。

　　設 $S$ 為 $R^n$ 之一子集, 且 $\mbox{\boldmath {$a$}}\in S$。若存在一以 $\mbox{\boldmath {$a$}}$ 為中心之開的 $n$ 維球, 使得此球包含於 $S$ 中, 則 $\mbox{\boldmath {$a$}}$ 稱為 $S$ 之一內點。 $S$ 之所有內點之集合以 int$S$ 表之。 一包含 $\mbox{\boldmath {$a$}}$ 之開集合 , 也稱為 $\mbox{\boldmath {$a$}}$ 之一鄰域。在此, 若 $S=$int$S$, 則 $S$ 稱為一開集合。

　　另外, 設 $S\subset R^n$, 則對一 $\mbox{\boldmath {$a$}}\in R^n$, 若存在一以 $\mbox{\boldmath {$a$}}$ 為中心之開的 $n$ 維球, 使此球不包含 $S$ 的任何點, 則 $\mbox{\boldmath {$a$}}$ 稱為 $S$ 之一外點。$S$ 之所有外點之集合以 ext$S$ 表之. 而一點若既不為 $S$ 之內點也不為 $S$ 之外點, 便稱為 $S$ 之邊界點。

　　我們並不特別區分點及向量之符號。設 $\mbox{\boldmath {$x$}}=(x_1,\cdots,x_n)$ 為一 $n$ 維的點, $\mbox{\boldmath {$v$}}=(v_1,\cdots, v_n)$ 為一 $n$ 維向量, 則 $\mbox{\boldmath {$x$}}+\mbox{\boldmath {$v$}}=(x_1+v_1,\cdots, x_n+v_n)$。又對二 $n$ 維向量 $\mbox{\boldmath {$u$}}$ 及 $\mbox{\boldmath {$v$}}$, 其內積之定義仍如 (1.1) 式。又可證明

\begin{displaymath} \mbox{\boldmath {$u$}}\cdot\mbox{\boldmath {$v$}}=\vert\vert... ...rt\cdot \vert\vert\mbox{\boldmath {$v$}}\vert\vert\cos\theta , \end{displaymath} (1.2)
其中 為 $\mbox{\boldmath {$u$}}$ 與 $\mbox{\boldmath {$v$}}$ 之夾角。由 (1.2) 式又得
\begin{displaymath} \vert\mbox{\boldmath {$u$}}\cdot\mbox{\boldmath {$v$}}\vert\... ...{\boldmath {$v$}}\vert\vert\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath} (1.3)

　　最後, 若 $A_1, A_2$ 為 $R$ 之二子集, 則其笛卡兒乘積 之定義為

\begin{displaymath} A_1\times A_2=\{(a_1, a_2)\vert\ a_1\in A_1, a_2\in A_2\}\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}
若 $A_1$, $A_2$, $A_3$ 為 $R$ 之三子集, 則
\begin{displaymath} A_1\times A_2\times A_3=\{(a_1, a_2, a_3)\vert\ a_1\in A_1, a_2\in A_2, a_3\in A_3\}, \end{displaymath}
餘類推。因此 $R^2=R\times R$, $R^3=R\times R\times R$。

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進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 多變函數。微積分講義第九章，國立高雄大學應用數學系。