冪  級  數

  a

        

　　若一無限級數有下述形式

\begin{displaymath} \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n, \end{displaymath}

便稱為一 $(x-a)$ 之冪級數。

　

定理 1.設 $\sum a_nx^n$ 對某 $x=x_1\neq 0$ 收斂。則

(i) 此級數對每一滿足 $\vert x\vert<\vert x_1\vert$ 之 $x$ 絕對收斂;

(ii) 此級數在每一區間 $[-r, r]$ 均勻收斂, 其中 $0<r<\vert x_1\vert$。

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　　　對一 $x$ (即 $a=0$ 的情況) 之冪級數, 其收斂範圍為一以 0 為中心的區間。

定理 2.設級數 $\sum a_nx^n$ 在某 $x=x_1\neq 0$ 收斂, 且在某 $x=x_2$ 發散。則存在一 $r>0$, 使得此級數在 $\vert x\vert<r$ 絕對收斂, 且在 $\vert x\vert>r$ 發散。

  a　
　　定理 2 指出, 對一冪級數 $\sum a_nx^n$, 使其收斂的範圍, 必是一連續的以 0 為中心之區間 (也可能只有 0 這一點)。至於若有一 $(x-a)$ 之冪級數, 也立即可寫出對應的定理 1 及 2, 此時收斂區間是以 $a$ 為中心。 不過定理 2 並未能告訴我們級數 $\sum a_nx^n$ 在 $\vert x\vert=r$ 是否收斂。 對 $x=r$ 或 $-r$, 要單獨判斷級數之斂散性。 由於有定理 2, 我們稱 $r$ 為 $\sum a_nx^n$ 之收斂半徑 。可看出收斂半徑亦可定義為使 $\sum a_nx^n$ 收斂之所有 $x$ 的集合之最小上界。冪級數在其收斂區間的內點收斂, 但在該區間的端點就不一定收斂了。又 $r$ 也可能為 0, 即 $\sum a_nx^n$ 只有當 $x=0$ 才收斂, 此時級數和為 $a_0$; $r$ 也可能為 $\infty $, 此時對 $\forall x\in R$, 皆使級數收斂, 因此收斂區間為 $(-\infty , \infty )$。 另外, 由定理 1 知, $\sum a_nx^n$ 在每一區間 $[-b, b]$ 均勻收斂, 其中 $0<b<r$。

　　
例 1.求下述各級數之收斂半徑 $r$ 及收斂區間。　　

(i) $\sum x^n/n!$;

(ii) $\sum (-1)^{n-1}x^n/n$;

(iii) $\sum nx^n$;

(iv) $\sum (x-2)^n/(3^nn^2)$。　　

　　　　一冪級數的係數若做一些改變有時並不影響其收斂半徑。 一個特例是若將 $\sum a_nx^n$ 之每一項皆除以 $x$ 而得 $\sum a_nx^{n-1}$, 或皆乘以 $x$ 而得到 $\sum a_nx^{n+1}$, 皆與原級數有相同之收斂區間。

　

定理 3.設 $\{c_n, n\geq 0\}$ 為一數列之正數, 且滿足

\begin{displaymath} \lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt [n]{c_n}=1, \end{displaymath}

(4.2)

則 $\sum a_nx^n$ 與 $\sum c_na_nx^n$ 有相同之收斂半徑。

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例 2.因

\begin{displaymath} \lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt [n]{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt [n]{1/n}=1, \end{displaymath}

故感覺上差異很大的三級數 $\sum_{n=1}^{\infty }x^n$, $\sum_{n=1}^{\infty }nx^n$ 與 $\sum_{n=1}^{\infty }x^n/n$, 有相同的收斂半徑, 且皆為 1。但收斂區間依序為 $(-1, 1)$, $(-1, 1)$, [-1,1)並不盡相同。

　　最後, 我們也可考慮較一般的冪級數 $\sum a_n(z-a)^n$, 其中 $z$, $a$, $a_n$ 皆為 複數。則本節的結果仍成立, 只是收斂區間要改為收斂圓 。即若收斂半徑 $r$, 則級數在以 $a$ 為圓心 $r$ 為半徑的圓內收斂, 在圓外發散。至於在 $\vert z-a\vert=r$ 仍要另外討論, 視情況不同會有不同的結論。

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進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 冪級數。微積分講義第八章，國立高雄大學應用數學系。