均　勻　收　斂

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　　設 $\{f_n\}$ 為一在集合 $S$ 上逐點收斂至 $f$ 的函數數列。由極限的定義知, 此即表對 $\forall x\in S$ 及對 $\forall \varepsilon >0$, 存在一 $n_0\geq 1$, 使得 $\vert f_n(x)-f(x)\vert<\varepsilon $, $\forall n\geq n_0$。但上述 $n_0$ 通常會與 $x$ 及 $\varepsilon $ 有關。也就是對不同的 $x$ 或 $\varepsilon $, 所找到的 $n_0$ 可能不同。但若對 $\forall x\in S$, 可找到一相同的 $n_0$, 則這種收斂便稱為在 $S$ 上均勻收斂 。

　

定義 1.  一數列之函數 $\{f_n\}$, 若滿足對 $\forall \varepsilon >0$, 存在一 $n_0\geq 1$ ($n_0$ 只與 $\varepsilon $ 有關), 使得當 $n\geq n_0$ 時,

\begin{displaymath} \vert f_n(x)-f(x)\vert<\varepsilon , \ \forall x\in S, \end{displaymath} (3.1)
則稱 {$f_n\}$ 在 $S$ 上均勻收斂至 $f$ , 並以
表之。或寫成
\begin{displaymath} f_n \longrightarrow \nolinebreak\hspace{-0.6cm} \mbox{\raise... ... {\tiny$u$}\hspace{0.4cm}}f\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

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　　均勻收斂可以有一簡單的幾何解釋。首先 $\vert f_n(x)-f(x)\vert<\varepsilon $ 與

\begin{displaymath} f(x)-\varepsilon <f_n(x)<f(x)+\varepsilon \end{displaymath}
等價。若上式對 $\forall n\geq n_0$ 及 $x\in S$ 成立, 則所有 $f_n$ 在 $S$ 中的圖形, 便介於一寬度為 $2\varepsilon $, 以 $f$ 為中心軸的帶子中, 見圖3.1. 讀者也可想想為什麼 若不為均勻收斂, 則 $\{f_n\}$ 與 $f$ 便沒有如圖 3.1 的關係。



圖3.1. 均勻收斂之幾何意義


例 1.令 $f_n(x)=(\sin n^2x)/n$, $x\in R$, $n\geq 1$。 取 $f(x)=0$, $\forall x\in R$。是否為均勻收斂？　

　

定理 1.  設 $\{f_n\}$ 在 $S$ 上均勻收斂至 $f$。若每一 $f_n$ 在某一 皆連續, 則 $f$ 在 $p$ 亦連續。

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　　上述定理也可應用至函數級數。對 $\forall n\geq 1$, 設函數 $f_n(x)$ 為一函數級數 $\sum_{k=1}^{\infty }u_k(x)$ 之部分和, 即

\begin{displaymath} f_n(x)=\sum_{k=1}^nu_k(x)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}
若在 $S$ 上 $f_n\longrightarrow \hspace{-0.6cm} \mbox{\raisebox{0.2cm} {\tiny$p$}\hspace{0.5cm}}f$, 則
\begin{displaymath} f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f_n(x)=\sum_{k=1}^{\infty } u_k(x), \forall x\in S\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}
此時稱級數 $\sum u_k$ 逐點收斂至和函數 $f$。若在 $S$ 上 $f_n\longrightarrow \hspace{-0.7cm} \mbox{\raisebox{0.2cm} {\tiny$u$}\hspace{0.5cm}} f$, 則稱級數 $\sum u_k$ 均勻收斂至 $f$。

　

系理 1.  設函數級數 $\sum u_k$ 在 $S$ 上均勻收斂至和函數 $f$, 且設每一 $u_k$ 皆在某點 連續, 則 $f$ 亦在 $p$ 連續。

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系理 1 之結果可以下述符號來表示:

\begin{displaymath} \lim_{x\to p}\sum_{k=1}^{\infty } u_k(x)=\sum_{k=1}^{\infty }\lim_{x\to p}u_k(x)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}
此表對一均勻收斂的級數, 我們可交換極限與和二運算。

　　又附帶一提, 均勻收斂只是傳遞連續性之一充分條件, 並非必要條件。


例 2. 令

則顯然 $\{f_n\}$ 在 $R$ 上均勻收斂至 $f(x)\equiv 0$。但雖每一 $f_n$ 為一到處 不連續之函數, 而極限函數 $f$ 卻為一到處連續的函數。

　

定理 2.  設在 $[a, b]$ 上 $f_n\longrightarrow \nolinebreak\hspace{-0.6cm} \mbox{\raisebox{0.2cm} {\tiny$u$}\hspace{0.4cm}}f$, 且設每一 $f_n$ 皆 在 $[a, b]$ 連續。對 $\forall x\in [a, b]$, 令

\begin{eqnarray*} g_n(x) &=&\int_a^x f_n(t)dt, \\ g(x) &=& \int_a^x f(t)dt\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{eqnarray*}
則在 $[a, b]$ 上, $g_n\longrightarrow \nolinebreak\hspace{-0.6cm} \mbox{\raisebox{0.2cm} {\tiny$u$}\hspace{0.4cm}}g$。特別地 $g_n\longrightarrow \hspace{-0.6cm} \mbox{\raisebox{0.2cm} {\tiny$p$}\hspace{0.5cm}}g$, 即 $\forall x\in [a, b]$,
\begin{displaymath} \lim_{n\rightarrow \infty }\int_a^x f_n(t)dt=\int_a^x\lim_{n\rightarrow \infty }f_n(t)dt\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

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例 3.設 ，$R$，$x\in [0,1]$ 。由於此為一連續函數數列卻有一不連續的極限函數, 故由定理 1 知, 非在 $[0, 1]$ 均勻收斂。但 $n\rightarrow \infty $ 時,

\begin{displaymath} \int_0^1 f_n(x)dx=\int_0^1 x^ndx=\frac 1{n+1}\to 0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}
故 $\lim_{n\rightarrow \infty }\int_0^1 f_n(x)dx=\int_0^1\lim_{n\rightarrow \infty }f_n(x)dx=\int_0^1 f(x)dx=0$。


系理 2.  設函數級數 $\sum u_k$ 在 $[a, b]$ 上均勻收斂至和函數 $f$, 且設每一 $u_k$ 皆在 $[a, b]$ 連續。對 $\forall x\in [a, b]$, 令

\begin{eqnarray*} g_n(x) &=&\sum_{k=1}^n\int_a^x u_k(t)dt, \\ g(x) &=& \int_a^x f(t)dt\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{eqnarray*}
則在 $[a, b]$ 上 $g_n\longrightarrow \nolinebreak\hspace{-0.6cm} \mbox{\raisebox{0.2cm} {\tiny$u$}\hspace{0.4cm}}g$, 且
\begin{displaymath} \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^n\int_a^x u_k(t)dt=\int_a^x\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^n u_k(t)dt, \end{displaymath}
亦即
\begin{displaymath} \sum_{k=1}^{\infty }\int_a^x u_k(t)dt=\int_a^x\sum_{k=1}^{\infty } u_k(t)dt, \end{displaymath}

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　　Weierstrass 提供一有用的判別法 , 此法對所給定的函數級數, 若存在一支配它的收斂正項級數便適用。

　

定理 3.  (Weierstrass $M$-檢定法)。 設函數級數 $\sum u_n$ 在 $S$ 上逐點收斂至 $f$。若存在一收斂的正項級數 $\sum M_n$, 使得

\begin{displaymath} 0\leq \vert u_n(x)\vert\leq M_n, \ \forall n\geq 1,\ \forall x\in S, \end{displaymath}
則 $\sum u_n$ 在 $S$ 上均勻收斂至 $f$。

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　　一級數之逐項微分的和是否會等於和之微分呢? 一般而言二者並不相等, 即使是 均勻收斂的情況。例如, 因 $\vert\sin nx/n^2\vert\leq 1/n^2$, 故 $\sum_{n=1}^{\infty}\sin nx/n^2$ 收斂。再由定理 3 知此為均勻收斂。 但此級數逐項微分的和為 $\sum \cos nx/n$, 在 $x=0$ 發散。此例顯示即使是均勻收斂, 逐項微分也可能會破壞收斂性。故一般而言, 驗證和及微分之可交換, 比驗證和及積分之可交換難得多。

　　在結束本節前, 我們分別給數列及級數之均勻收斂的柯西條件 。

　

定理 4. 設 $\{f_n\}$ 為一數列定義在 $S$ 上之函數。則存在一函數 $f$, 使得 $f_n$ 在 $S$ 上均勻收斂至 $f$, 若且唯若下述條件 (稱為歌西條件) 成立: $\forall \varepsilon >0$, 存在一 $n_0\geq 1$, 使得對 $\forall m, n\geq n_0$,

\begin{displaymath} \vert f_m(x)-f_n(x)\vert<\varepsilon ,\ \forall x\in S\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath} (3.2)

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系理 3.  $\sum f_n(x)$ 在 $S$ 上均勻收歛, 若且唯若 $\forall \varepsilon >0$, 存在一 $n_0\geq 1$, 使得 $n\geq n_0$ 時,

\begin{displaymath} \vert\sum_{k=n+1}^{n+m}f_k(x)\vert<\varepsilon ,\ \forall m\geq 1,\ \forall x\in S\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath} (3.3)

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例 4.
討論下述各函數數列 $\{f_n\}$ 之均勻收歛性。
(i) $f_n(x)=x^n-x^{2n}, x\in [0, 1]$;
(ii) $f_n(x)=\sin(x/n), \in [-a, a], a>0$;
(iii) $f_n(x)=\sqrt {x^2+n^{-2}}, x\in R$;
(iv) $f_n(x)=nx/(1+nx), x\in [0,1]$;
(v) $f_n(x)=x^n/(1+x^n), x\in (1-a, 1+a), 0<a<1$.

　        　　

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進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 均勻收斂。微積分講義第八章，國立高雄大學應用數學系。