逐　點　收　斂

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　　設有一數列之函數 $\{f_n\}$, 且設這些函數有相同的定義域。對每一定義域中的 $x$, 可得一數列 $\{f_n(x)\}$。令 $S$ 表使此數列收斂的 $x$ 之集合。則一定義在 $S$ 上的函數 $f$,其中

\begin{displaymath} f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty } f_n(x),\ \forall x \in S, \end{displaymath} (2.1)
稱為數列 {$f_n$} 之極限函數。並稱數列 {$f_n$}在 $S$ 上逐點收斂至 $f$。並以 $f_n\to f$ (逐點收斂), 或 $f_n\longrightarrow \hspace{-0.6cm} \mbox{\raisebox{0.2cm} {\tiny$p$}\hspace{0.5cm}}f$ 表之。

　　由柯西收斂檢定法知, 即使不知極限函數 $f$, 我們仍可判定函數數列 {$f_n$} 是否收斂。也就是 {$f_n$} 收斂至一極限函數, 若且唯若存在一集合 $S$, 且對 $\forall x \in S$ 及任一 $\varepsilon >0$, 存在一 $n_0 \geq $1, 使得對 $\forall m$, $n \geq n_0$,

\begin{displaymath} \vert f_m(x)-f_n(x)\vert <\varepsilon \mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

　　對函數數列, 我們主要想討論下述問題: 若數列 {$f_n$} 中之每一 $f_n$ 皆有某一性質, 如連續、可微或可積, 則極限函數 $f$ 是否亦具有此特性?  底下我們先給幾個例子。

例 1.對 $\forall n \geq 1$, 令 $f_n(x)=x^n$, $x\in [0,1]$, 則每一 $f_n$ 皆為連續函數。 則極限函數 $f$ 是否亦為連續函數？　


例 2.試給一

\begin{displaymath} \lim_{n\rightarrow \infty }\int_a^b f_n(x)dx=\int_a^b\lim_{n\rightarrow \infty }f_n(x)dx \end{displaymath} (2.3)
不一定成立之例。 


例 3.試給一可微函數數列 $\{f_n\}$, 極限函數存在, 但 $\{f_n'\}$ 發散之例。


例 4.設有一二重數列 $\{a_{mn}, m\geq 1, n \geq 1\}$, 其中

\begin{displaymath} a_{mn}=\frac {m}{m+n}\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}
則\begin{displaymath} \lim_{n\rightarrow \infty }\lim_{m\to\infty } a_{mn}=\lim_{m\to\infty }\lim_{n\rightarrow \infty } a_{mn} \end{displaymath}是否成立？ 

　　
例 5.對 $\forall n \geq 0$,令

\begin{displaymath} u_n(x)=\frac {x^2}{(1+x^2)^n}, x \in R \mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}
則每一 $u_n$ 皆為連續函數。令
\begin{displaymath} f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}u_n(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac {x^2}{(1+x^2)^n}\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}
因 $u_n(0)=0$, $\forall n \geq 0$, 故 $f(0)=0$。對 $x \neq 0$, 上式最右側為一收斂之幾何級數, 且其和為 $1+x^2$。故
\begin{displaymath} f(x)=\left\{\begin{array}{lll} 0 &\hspace{-0.25cm}, &x=0,\\ ... ...&x\neq 0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{array}\right. \end{displaymath}
本例與例 1 類似, 雖對 $\forall k \geq 0$, $\sum_{n=0}^k u_n(x)$ 為連續, 但無限個連續函數之和卻不一定仍為一連續函數。


例 6.對 $\forall m \geq 1$ , 令

\begin{displaymath} f_m(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }(\cos(m!\pi x))^{2n}\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}  

是否為一連續函數？　

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進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 逐點收斂。微積分講義第八章，國立高雄大學應用數學系。