7.4交錯級數

交錯級數

交錯級數 (alternating series), 即一正、負項交錯的級數, 其形式為

$\begin{displaymath} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n=a_1-a_2+a_3+\cdots+(-1)^{n-1}a_n+\cdots, \end{displaymath}$

其中

。

下述定理為萊布尼茲規則 (Leibniz rule)。

定理 1.設 $\{a_n\}$ 為一漸減至 0 之數列, 則交錯級數 $\sum_{n=1}^{\infty }$ $(-1)^{n-1}$ 收斂。若以表級數和, 則至第項之部分和滿足　　　　　　　

$\begin{displaymath} 0<(-1)^n (S-s_n)<a_{n+1},\ \forall n\geq 1\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

(4.1)

例 1.由於數列 $\{1/n, n\geq 1\}$ 漸減至 0, 故交錯級數 $1-\frac 1 2+\frac 1 3-\frac 1 4+\cdots$ 收斂。本例顯示, 即使 $\sum a_n$ 及 $\sum b_n$ 皆發散, 但 $\sum(a_n-b_n)$ 卻有可能收斂, 在此 , , $n\geq 1$ 。

例 2.級數 $\sum (-1)^n\log n/n$ 收斂或發散。

例 3.(i)試證級數

$\begin{displaymath} 1-\frac 1 {1!}+\frac 1{2!}-\frac 1{3!}+\cdots+(-1)^n\frac 1{n!}+\cdots \end{displaymath}$

收斂, 並估計其和

至小數第 3 位。

(ii)討論級數

$\begin{displaymath} 1-\frac 2 3+\frac 3 5-\cdots + (-1)^{n-1}\frac n {2n-1}+\cdots \end{displaymath}$

之斂散性。

例 4.(i)討論級數

$\begin{displaymath} \sum_{i=1}^{\infty }(-1)^i\frac i{i^2+1} \end{displaymath}$

之斂散性。

(ii)討論級數

之斂散性。

不過要注意的是, 定理 1 只是提供一判斷交錯級數是否收斂之充分條件.。即使不滿足定理 1 中的條件, 交錯級數 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n$ 仍有可能收斂。

例 5.利用萊布尼茲規則可導出一重要的極限結果。令

$\begin{displaymath} a_1=1,\ a_2=\int_1^2\frac 1 xdx,\ a_3=\frac 1 2, \ a_4=\int_2^3\frac 1 xdx, \cdots, \end{displaymath}$

一般項為

$\begin{displaymath} a_{2n-1}=\frac 1 n, \ a_{2n}=\int_n^{n+1}\frac 1 xdx,\ n\geq 1\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

易見 $a_n\downarrow 0$ , 故交錯級數 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n$ 收斂。若以 $\gamma$ 表此級數和, 而至第

項之部分和為

, 則

$\begin{eqnarray*} s_{2n-1} &=& 1+\frac 1 2+\cdots+\frac 1 n-\int_1^n\frac 1 xdx ... ...c 1 2+\cdots+\frac 1 n-\log n\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{eqnarray*}$

因 $n\to \infty$ 時, $s_{2n-1}\to \gamma$ , 故得

(4.2)

常數 $\gamma$ 稱為歐拉常數 (Euler's constant)。 $\gamma$ 為一重要的常數, 其值約為 0.5772156649。(4.2) 又可表示為

$\begin{displaymath} \sum_{i=1}^n\frac 1 i=\log n+ \gamma+o(1),\ n\to\infty \mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

(4.3)

由此即得

$\begin{displaymath} \lim_{n\rightarrow \infty }(1+\frac 1 2+\cdots+\frac 1 n)/\log n=1\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

因此又有

$\begin{displaymath} \sum_{i=1}^n\frac 1 i\sim \log n,\ n\rightarrow \infty \mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

由 (4.3) 不但再度可看出為何調和級數 $\sum 1/i$ 發散, 也可看出
$\sum 1/i$ 成長之速度。

例 6.求

之和。

例 7.試判斷級數

$\begin{displaymath} \frac 1 3+\frac 1{3\sqrt {3}}+\frac 1{3\sqrt {3}\sqrt [3]{3}... ...dots +\frac 1{3\sqrt {3}\sqrt [3]{3}\cdots\sqrt [n]{3}}+\cdots \end{displaymath}$

之斂散性。

　　一般而言, $\sum a_n$ 收斂不一定導致 $\sum\vert a_n\vert$ 收斂。不過若 $\sum\vert a_n\vert$ 收斂卻可導出 $\sum a_n$ 收斂。

定理 2.設 $\sum\vert a_n\vert$ 收斂, 則 $\sum a_n$ 亦收斂, 且

$\begin{displaymath} \vert\sum_{n=1}^{\infty}a_n\vert\leq \sum_{n=1}^{\infty}\vert a_n\vert\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

(4.4)

定義 1.若 $\sum\vert a_n\vert$ 收斂, 則級數 $\sum a_n$ 稱為絕對收斂 (absolute

convergence);

若 $\sum\vert a_n\vert$ 發散, 而 $\sum a_n$ 收斂, 則 $\sum a_n$ 稱為條件收斂
(conditional convergence)。

定理 3.若 $\sum a_n$ 及 $\sum b_n$ 皆為絕對收斂, 則對 $\forall \alpha , \beta \in R$ , $\sum (\alpha a_n+\beta b_n)$ 亦為絕對收斂。

　
例 8.級數 $\sum (-1)^n/n^2$ 、 $\sum (-1)^n (2/3)^n$ 及 $\sum_{n=0}^{\infty } (-1)^n/n!$ 皆為絕對收斂, 而 $\sum_{n=2}^{\infty }(-1)^n/\log n$ 為條件收斂。

例 9.證交錯級數

$\begin{displaymath} 2-\frac 1{2^2}+\frac 2{3^2}-\frac 1{4^2}+\frac 2{5^2}-\frac ... ...n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}a_n\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

為絕對收斂。

　　下述定理稱為Abel 部分和公式 (Abel partial summation formula)。

定理 4.設 $\{a_n\}$ 及 $\{b_n\}$ 為二數列, 且令 $A_n=\sum_{i=1}^n a_i$ 。則

$\begin{displaymath} \sum_{i=1}^n a_ib_i=A_n b_{n+1}+\sum_{i=1}^n A_i (b_i-b_{i+1})\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

(4.5)

由 (4.5) 可看出, 當 $n\to \infty$ 時, 若級數 $\sum_{i=1}^n A_i(b_i-b_{i+1})$ 及數列 $\{A_nb_{n+1}\}$ 皆收斂, 則 $\sum a_ib_i$ 收斂。底下兩個定理即給出前述級數及數列收斂之充分條件, 因此亦為 $\sum a_ib_i$ 收斂之一充分條件。

定理 5.(Dirichlet 檢定法 (Dirichlet's test))。設級數 $\sum a_n$ 之部分和為一有界數列, 又設 $\{b_n\}$ 為一漸減至 0 的數列, 則 $\sum a_n b_n$ 收斂。

定理 6.(Abel 檢定法 (Abel's test))。設 $\sum a_n$ 收斂且 $\{b_n\}$ 為一單調之收斂數列, 則 $\sum a_n b_n$ 收斂。

在定理 5 及 6 中, 皆可為複數。一複數數列 $\{a_n\}$ 收斂, 若且唯若其實部數列及虛部數列皆收斂, 且 $\{a_n\}$ 極限為其實部數列與虛部數列之極限和。而一類重要的發散級數, 但部分和為有界的級數為幾何級數 $\sum x^n$ , 其中為一複數且 $\vert x\vert\neq 1$ 。由此定理也可導出第二章之 (5.3) 式。首先注意到若 $\vert x\vert=1$ , 則 $x=e^{i\theta}$ , 其中 $\theta$ 為一實數, $i=\sqrt {-1}$ , 而 $e^{i\theta}=\cos \theta+i \sin \theta$ 。

定理 7.設 $\theta\in R$ 且不為 $2\pi$ 之整數倍, 則對 $\forall n\geq 1$ ,

$\begin{displaymath} \sum_{k=1}^n e^{ik\theta}=\frac {\sin (n\theta/2)}{\sin(\theta/2)}e^{i(n+1)\theta/2}, \end{displaymath}$

(4.6)

且

$\begin{displaymath} \vert\sum_{k=1}^n e^{ik\theta}\vert\leq \frac 1{\vert\sin(\theta/2)\vert}\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

(4.7)

　　設 $\{b_n\}$ 為一漸減至 0 之實數列, 且取 , 其中為一複數, 且 $\vert x\vert=1$ , $x\neq 1$ 。則由定理 5 及 7 知 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n$ 收斂。定理 1 為此結果當之一特例。

現取 $x=e^{i\theta}$ , 其中 $\theta\in R$ 且不為 $2\pi$ 之整數倍。考慮級數
$\sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n$ , 則其實部 $\sum_{n=1}^{\infty}b_n\cos n\theta$ 與虛部
$\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin n\theta$ 皆收斂。特別地, 若取 $b_n=1/n^{\alpha }$ , $\alpha >0$ , 則下述級數皆收斂:

$\begin{displaymath} \sum_{n=1}^{\infty}\frac {e^{in\theta}}{n^{\alpha }},\ \sum_... ...\sin n\theta} {n^{\alpha }}\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

又當 $\alpha >1$ , 上述各級數因皆受制於 $\sum 1/n^{\alpha }$ , 故皆絕對收斂。

　　附帶一提, 因在 (4.6) 兩側實部及虛部須各自相等, 故得

(4.8)

及

$\begin{displaymath} \sum_{k=1}^n\sin (k\theta)=\frac {\sin(n\theta/2)\sin((n+1)\theta/2)} {\sin(\theta/2)}\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

(4.9)

不難看出 (4.8) 式與第二章 (5.3) 式是相同的。

　　在例 8 我們證明了

$\begin{displaymath} 1-\frac 1 2+\frac 1 3-\frac 1 4+\cdots=\log 2\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

(4.10)

但若將此級數重排, 先寫兩正項再寫一負項, 則得下述新級數:

$\begin{displaymath} 1+\frac 1 3-\frac 1 2+\frac 1 5+\frac 1 7-\frac 1 4+\frac 1 ... ...rac 1{11}-\frac 1 6 +\cdots\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

(4.11)

此新級數與原交錯調和級數的各項有 1

1 且映成的關係, 但可如下地證明其和卻不為 $\log 2$ 。

　　令表 (4.11) 之級數至第項的部分和。則對 $t_{3m}$ , 因包含個正項及個負項, 故利用 (4.3), 得

$\begin{eqnarray*} t_{3m} &=&\sum_{k=1}^{2m}\frac 1{2k-1}-\sum_{k=1}^{m}\frac 1 {... ...)\\ &=& \frac 3 2\log 2+o(1)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{eqnarray*}$

故

$\begin{displaymath} \lim_{m\to \infty }t_{3m}=\frac 3 2\log 2\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

又因 $t_{3m+1}=t_{3m}+1/(4m+1)$ , $t_{3m-1}=t_{3m}-1/(2m)$ , 故

$\begin{displaymath} \lim_{m\to\infty }t_{3m+1}=\lim_{m\to\infty }t_{3m-1}=\lim_{... ...ty }t_{3m} =\frac 3 2\log 2\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

故得

$\begin{displaymath} \lim_{n\rightarrow \infty } t_n=\frac 3 2\log 2\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

　　由上例可看出將一收斂級數重排後, 可能得到一不同的和。此現象只有對條件收斂的級數才會發生。也就是一絕對收斂的級數雖經重排也不會改變其和。

定理 8.設 $\sum a_n$ 為一絕對收斂之級數, 其和為。則每一 $\sum a_n$ 之重排仍為絕對收斂, 且其和為。

在上述定理中, $\sum a_n$ 為絕對收斂乃必要的。Riemman 發現, 對一條件收斂的級數, 只要經適當的重排, 可讓其和收斂至任一給定的實數。 Riemann 之證明, 用到條件收斂級數之一特性, 即必有無限多個正項及無限多個負項 (否則就是絕對收斂了)。若令

$\begin{displaymath} a_n^+=\frac {a_n+\vert a_n\vert}2, \ a_n^-=\frac {a_n-\vert a_n\vert}2, \end{displaymath}$

即

$\begin{displaymath} a_n^+=\left\{\begin{array}{lll} a_n &\hspace{-0.25cm}, &\mbo... ... a_n &\hspace{-0.25cm}, &\mbox{若 $a_n<0$}, \end{array}\right. \end{displaymath}$

則 $\sum a_n^+$ 與 $\sum a_n^-$ 分別為 $\sum a_n$ 之正項及負項部分, 而且

$\begin{displaymath} a_n=a_n^{+}+a_n^{-}\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

此二級數與 $\sum a_n$ 有下述關係。

定理 9.

設有一級數 $\sum a_n$ 。

(i) 若 $\sum a_n$ 條件收斂, 則 $\sum a_n^+$ 與 $\sum a_n^-$ 皆發散;

(ii) 若 $\sum a_n$ 絕對收斂, 則 $\sum a_n^+$ 與 $\sum a_n^-$ 皆收斂, 且

(A) $\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^{\infty}a_n^++\sum_{n=1}^{\infty}a_n^-\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}$

例如, 對級數 $\sum (-1)^{n-1}/n$ , 此級數為條件收斂, 且對應的 $a_{2n-1}^+=1/(2n-1)$ , $a_{2n-1}^-=0$ , $a_{2n}^+=0$ , $a_{2n}^-=-1/(2n)$ 。顯然 $\sum a_n^+$ 及 $\sum a_n^-$ 皆發散。但對 $\sum (-1)^{n-1}/n^2$ , 此級數為絕對收斂, 易見對應的 $\sum a_n^+$ 及 $\sum a_n^-$ 皆收斂。

最後我們證明 Riemann 重排定理 (Riemann's Rearrangement Theorem) 。

定理 10.設 $\sum a_n$ 為一條件收斂級數, 為一給定之實數。則存在 $\sum a_n$ 之一重排 $\sum b_n$ 收斂至。

進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 數列及級數。微積分講義第七章，國立高雄大學應用數學系。