7.2級數的基本性質

級數的基本性質

　　一級數若有下述形式, 便稱為一公比為之幾何級數 (geometric series):

$\begin{displaymath} \sum_{i=1}^{\infty }ar^{i-1}=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+\cdots\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

由

$\begin{displaymath} 1-r^n=(1-r)(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}), \end{displaymath}$

可得首

項之部分和為

$\begin{displaymath} s_n=a\sum_{i=1}^nr^{i-1}=\frac {a(1-r^n)}{1-r}=\frac a{1-r}-\frac {ar^n}{1-r},\ r\neq 1\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

因

$\begin{displaymath} \lim_{n\to\infty }r^n=0,\ \forall \vert r\vert<1, \end{displaymath}$

故

$\begin{displaymath} \lim_{n\to\infty }s_n=\frac a{1-r}-\frac a{1-r}\lim_{n\to\in... ...r},\ \forall \vert r\vert<1\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

即證出對 $\forall \vert r\vert<1$ , 幾何級數收斂, 且和為

。即

$\begin{displaymath} \sum_{i=1}^{\infty }ar^{i-1}=\frac a{1-r},\ \vert r\vert<1\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

(2.1)

對每一數列 $\{s_n, n\geq 1\}$ , 只要令

$\begin{displaymath} a_1=s_1,\ a_2=s_2-s_1,\cdots, a_n=s_n-s_{n-1},\cdots, \end{displaymath}$

則

$\begin{displaymath} s_n=a_1+\cdots+a_n\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

即 $\{s_n, n\geq 1\}$ 為收斂級數 $\sum_{i=1}^{\infty }a_i$ 之部分和數列。

設一數列 $\{s_n, n\geq 1\}$ 之極限存在。若去掉前面有限項, 譬如說項, 而得到數列 , $s_{m+1},\cdots,s_{m+n},\cdots$ , 則仍有相同的極限。即

$\begin{displaymath} \lim_{n\to\infty }s_n=\lim_{n\to \infty }s_{m+n},\ \forall m\geq 1\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

特別地, 若

為一收斂級數 $\sum_{i=1}^{\infty }a_i$ 之首

項的部分和, 則

$\begin{displaymath} a_n=s_n-s_{n-1}, \end{displaymath}$

且

$\begin{displaymath} \lim_{n\to\infty }a_n=\lim_{n\to \infty }s_n-\lim_{n\to\infty }s_{n-1}=0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

由以上討論即得下述定理。

定理. 設級數 $\sum_{i=1}^{\infty }a_i$ 收斂, 則 $\lim_{n\to\infty }a_n=0$ .

上定理之逆不真, 即當 $\lim_{n\to\infty }a_n=0$ 時, 級數 $\sum_{i=1}^{\infty }a_i$ 不一定收斂。不過此定理常可拿來判別一級數是否發散。即若 $\lim_{n\to\infty }a_n \linebreak\neq 0$ , 則 $\sum_{i=1}^{\infty }a_i$ 發散。

例 1.級數 $\begin{displaymath} \sum_{i=1}^{\infty }\frac 1{i}=1+\frac 1 2+\cdots+\frac 1 n+\cdots \end{displaymath}$ 稱為調和級數 (harmonic series)。因對 ,

$\begin{eqnarray*} s_{2n}-s_n&=&\frac 1{n+1}+\frac 1{n+2}+\cdots+\frac 1 {2n}\\ &>&\frac 1{2n}+\frac 1{2n}+\cdots+\frac 1 {2n}=\frac 1 2, \end{eqnarray*}$

故由定理知, 數列發散。因此級數發散, 雖然 $n\to \infty$ 時, 此級數的一般項。

例 2.考慮級數 $\begin{displaymath} 1+\frac 1{\sqrt {2}}+\frac 1{\sqrt {3}}+\cdots+\frac 1{\sqr... ...{\infty }\frac 1{\sqrt {i}}\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$ 當 $n\to \infty$ 時, 一般項 , 但首項和

$\begin{displaymath} s_n>\frac 1{\sqrt {n}}+\cdots+\frac 1{\sqrt {n}}=\frac n{\sqrt {n}}=\sqrt {n}\to\infty \mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

故此級數發散。

不過當然並非每一發散級數, 其部分和必趨近至或 $-\infty$ 。

對每一整數 $k\geq 0$ , $\sum_{i=k}^{\infty }a_i$ 與 $\sum_{i=1}^{\infty }b_i$ 是一樣的, 其中 $b_i=a_{k+i-1}$ 。有時以 $\sum a_i$ 替代 $\sum_{i=k}^{\infty }a_i$ 。

對每一 $k\geq 1$ , 由於

$\begin{displaymath} \sum_{i=1}^{\infty } a_i=\sum_{i=1}^{k-1} a_i+\sum_{i=k}^{\infty } a_i, \end{displaymath}$

而有限個和 $\sum_{i=1}^{k-1} a_i$ 必為有限, 故 $\sum_{i=1}^{\infty }a_i$ 與 $\sum_{i=k}^{\infty }a_i$ 同時收斂或發散。此處為了便利, 當 , 定義 $\sum_{i=1}^0 a_i=0$ 。一級數的收斂或發散, 不受加入或拿走一些有限項的影響。

其次, 我們看級數的線性性質。首先對有限個數的和, 有底下二簡單但重要的性質:

$\begin{displaymath} \sum_{i=1}^{n}(a_i+b_i)=\sum_{i=1}^{n} a_i+\sum_{i=1}^{n} b_i \end{displaymath}$

(2.2)

及

$\begin{displaymath} \sum_{i=1}^{n}(ca_i)=c\sum_{i=1}^{n} a_i, \end{displaymath}$

(2.3)

其中

為一常數。上二性質合併後即為有限和的線性性質: 對任二 $\alpha$ , $\beta \in R$ ,

$\begin{displaymath} \sum_{i=1}^{n}(\alpha a_i+\beta b_i)=\alpha \sum_{i=1}^{n} a_i+\beta \sum_{i=1}^{n} b_i\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

(2.4)

下述定理指出, 對二收斂級數仍有線性的性質。

定理. 設 $\sum_{i=1}^{\infty }a_i$ 及 $\sum_{i=1}^{\infty }b_i$ 為二收斂級數, $\alpha$ , $\beta$ 為二實數, 則級數 $\sum(\alpha a_i+\beta b_i)$ 亦收斂, 且其和滿足下式:

$\begin{displaymath} \sum_{i=1}^{\infty }(\alpha a_i+\beta b_i)=\alpha \sum_{i=1}... ...ta \sum_{i=1}^{\infty } b_i\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$