前言

a

        設有一數列 $a_1, a_2,\cdots$ 。依序求其部分和, 可得數列 , 其中

\begin{displaymath} s_1=a_1,\ s_2=a_1+a_2, \cdots, s_n=a_1+\cdots+a_n=\sum_{i=1}^n a_i\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}
當 $n\to \infty $, 便得到和 $\sum_{i=1}^{\infty } a_i$ , 此稱為一無限級數 (infinite series), 或只簡稱級數 (series). 反之, 設有一級數 $\sum_{i=1}^{\infty } a_i$, 則其部分和 , $s_2=a_1+a_2,\cdots$, 亦構成一數列. 若
\begin{displaymath} \lim_{n\to\infty } s_n=A, \end{displaymath}
其中 $A$ 為一實數, 則稱級數 $\sum_{i=1}^{\infty } a_i$ 收歛, 且 $A$ 稱為此收歛級數之和, 否則稱為發散。 一發散級數之和並不存在。 在 $\sum_{i=1}^{\infty } a_i$ 中, $a_1, a_2,\cdots$ 稱為級數的項, 而 $a_n$ 稱為第 $n$ 項或一般項 (general term)。

       首先若一數列 $\{a_n, n\geq 1\}$ 收歛到一有限的值 $a$, 則當 $n$ 很大時, $a_n$ 與 $a$ 之 差距將很小。因此, 若 $m$ 與 $n$ 皆很大, 則 $a_m$ 與 $a_n$ 之差距亦很小。也就是只要項數夠大, 則任兩項可任意接近。正式地說, 我們有下述定理。

定理. 設 $\{a_n, n\geq 1\}$ 收歛。則對 $\forall \varepsilon >0$, 存在一 $n_0\geq 1$, 使得

\begin{displaymath} \vert a_m-a_n\vert<\varepsilon ,\ \forall m, n\geq n_0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}


由上述定理即引出底下的定義。

定義. 數列 $\{a_n, n\geq 1\}$ 稱為一柯西數列 (Cauchy sequence), 若其滿足下述

           柯西條件 (Cauchy condition):

定理.每一柯西數列必收歛。

　　上定理通常是用來對一事先不知道極限值為何的數列, 證明其收歛。由上二定理知, 一數列收歛, 若且唯若此數列為柯西數列。此稱為柯西收歛判別法 (Cauchy's convergence criterion)。

例 1.設數列 $\{a_n, n\geq 1\}$ 滿足

\begin{displaymath} \vert a_{n+2}-a_{n+1}\vert\leq \frac 1 2\vert a_{n+1}-a_n\vert,\ \forall n\geq 1\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}
證明 $\lim_{n\to \infty }a_n$ 存在。

例 2.分別求下述三極限值。   

(i) $\lim_{n\to\infty }(\frac 1{\sqrt {n^2+1^2}}+\frac 1{\sqrt {n^2+2^2}}+\cdots+\frac 1{\sqrt {n^2+n^2}})$,

(ii) $\lim_{n\to\infty }(\frac 1{\sqrt {n^2+1}}+\frac 1{\sqrt {n^2+2}}+\cdots+\frac 1{\sqrt {n^2+n}})$,

(iii) $\lim_{n\to\infty }(\frac 1{\sqrt {n^2+1}}+\frac 1{\sqrt {n^2+2}}+\cdots+\frac 1{\sqrt {n^2+n^2}})$.

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進一步閱讀資料：黃文璋(2002).  數列及級數。微積分講義第七章，國立高雄大學應用數學系。