定積分之數值計算

       若不知 $f$ 之反導數, 則便無法利用微積分基本定理求定積分 $\int_a^b f(x)dx$ 之值。不過我們卻可求此定積分之近似值至其任意精確度。 方法之一便是利用第二章定理 4.9, 以 Riemann 和來逼近。

       在實際應用時, 可取 $P_1$, $P_2,\cdots$ 為 $[a, b]$ 之一正規分割數列若 $P_n \linebreak =\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}$, 則可以

\begin{displaymath} R(P_n)=\sum_{i=1}^n f(x_{i-1})\Delta x, \end{displaymath}
或
\begin{displaymath} R_1(P_n)=\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x, \end{displaymath}
當做第 $n$ 個 Riemann 和, 其中 $\Delta x=(b-a)/n$只要 $n$ 夠大, 可以$R(P_n)$ 與 $R_1(P_n)$之算術平均 來估計 $\int_a^b f(x)dx$, 通常此為一更好的估計。而
\begin{eqnarray*} &&\frac 1 2 (R(P_n)+R_1(P_n)) \\ &&=\frac {\Delta x} 2(\sum_{... ...\sum_{i=1}^{n-1}2f(x_i)+f(x_n))\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large }} \end{eqnarray*}。
因此若 $P_n=\{x_0,x_1, \cdots,x_n\}$ 為 $[a, b]$ 之一正規分割, 則
\begin{displaymath} \hspace*{0.8cm} \int_a^b f(x)dx \doteq \frac {b-a}{2n}(f(x_0... ...1)+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_n))\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large }} \end{displaymath}。 (4.1)

上述積分公式便稱為梯形法 (trapezoidal rule)此名稱之由來如下

        設 $f(x)\geq 0$, $x\in [a, b]$, 則如圖 4.1 可看出, (4.1) 式之右側為 $n$ 個高皆為 $\Delta x=(b-a)/n$ 之梯形的面積和


例 1.設 $f(x)=\sqrt {x^2+1}$利用梯形法求在 $f$ 之圖形下, 由 0 至 3 之面積。

        其次來看梯形法之一推廣, 此法源自於 Simpson (1710-1761), 故稱之為 Simpson 法 (Simpson's rule), 為一較梯形法更精確的估計定積分的方法。

        設 $f$ 為一在 $[a, b]$ 上連續之函數, 梯形法是以一線段來逼近 $f$ 之圖形, 而 Simpson 法是以一拋物線來逼近 $f$ 之圖形, 所以又稱拋物線法 (parabolic rule)。我們 先看拋物線的一些性質 給三個不共線之相異點 $(-\Delta x, y_0)$, $(0, y_1)$ 及 $(\Delta x, y_2)$, 恰有一拋物線

通過此三點, 其中係數 $a_0, a_1, a_2$ 滿足下述三方程式。

$\displaystyle y_0$ $\textstyle =$ $\displaystyle a_2(-\Delta x)^2+a_1(-\Delta x)+a_0,$ (4.2)
$\displaystyle y_1$ $\textstyle =$ $\displaystyle a_0,$ (4.3)
$\displaystyle y_2$ $\textstyle =$ $\displaystyle a_2 (\Delta x)^2+a_1\Delta x +a_0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large }}$。 (4.4)
而在此拋物線下, 由 $-\Delta x$ 至 之面積 (見圖 4.2) 為

\begin{eqnarray*} \int_{-\Delta x}^{\Delta x}(a_2 x^2+a_1 x+a_0)dx &=& (\frac {a... ...lta x} 3(2a_2(\Delta x)^2+6a_0)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large }} \end{eqnarray*}。
由 (4.2)-(4.4), 可證明
\begin{displaymath} y_0+4y_1+y_2=2a_2(\Delta x)^2+6a_0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large }} \end{displaymath}。

此即圖 4.2 中拋物線下的面積。


       若將拋物線平移, 設有一拋物線 $y=a_0 x^2+a_1 x+a_0$ 通過 $(x_0, y_0)$, $(x_1, y_1)$ 及 $(x_2, y_2)$ 等三點, 見圖 4.3, 其中 $\Delta x=x_2-x_1=x_1-x_0$則顯然拋物線下的面積仍相同, 即


。




         設 $P_n=\{x_0,x_1, \cdots,x_n\}$ 為 $[a, b]$ 之一正規分割, 其中 $n$ 為一偶數, 且令 $\Delta x=(b-a)/n$。則

\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x)dx &=& \int_{x_0}^{x_2}f(x)dx+\int_{x_2}^{x_4}f(x... ... && +\int_{x_{n-2}}^{x_n}f(x)dx\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large }} \end{eqnarray*}。
　
其中每一積分 $\int_{x_i}^{x_{i+2}}f(x)dx$ 皆可以一通過三點 $(x_i, f(x_i))$, $(x_{i+1},\linebreak f(x_{i+1}))$ 及 $(x_{i+2}, f(x_{i+2}))$ 之拋物線下的面積來逼近又由前面已得的結果知:

\begin{eqnarray*} \int_{x_0}^{x_2} f(x)dx &\doteq& \frac {\Delta x}{3}(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)),\\ \end{eqnarray*}

              \begin{eqnarray*} \int_{x_2}^{x_4} f(x)dx &\doteq& \frac {\Delta x}{3}(f(x_2)+4f... ...(f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_n))\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large }} \end{eqnarray*}。
將這些式子左、右各分別相加, 即得
$\displaystyle \int_a^bf(x)dx$ $\textstyle \doteq$ $\displaystyle \frac {b-a}{3n}(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\cdots$  
    $\displaystyle +2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_n))\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large }}$。 (4.5)

即 Simpson 法對積分之逼近。


例 2.試利用 Simpson 法估計 $\int_0^1\sqrt {1-x^2}dx$, 取 $n=4$。


例 3.求 之圖形上, 由 (1, 1) 至 (5, 1/5) 之弧長的 近似值。

　

進一步閱讀資料：黃文璋(2002).  積分之應用。微積分講義第六章，國立高雄大學應用數學系。