弧長及旋轉面積

　

       對平面上一曲線, 欲求其圖形上介於某兩點間之曲線長度, 並稱之為弧長 (arc length)。為了簡化符號, 以 以P(x)表曲線上一點(x,,f(x))。而若 $P(c)$ 及 $P(d)$ 為曲線上二相異點, 以 $\hspace{0.45cm} \mbox{\raisebox{0.3cm} {$\hookrightarrow$}} \hspace{-1cm} \mbox{{$P(c)P(d)$}}$ 表此二點間之弧 (arc)。即 $\hspace{0.45cm} \mbox{\raisebox{0.3cm} {$\hookrightarrow$}} \hspace{-1cm} \mbox{{$P(c)P(d)$}}$ 表在曲線上, 由點 $P(c)$ 走至 $P(d)$ 所行經之部分。

       設 $f$ 為一定義在閉區間 $[a, b]$ 上的函數, 一個估計 $\hspace{0.45cm} \mbox{\raisebox{0.3cm} {$\hookrightarrow$}} \hspace{-1cm} \mbox{{$P(a)P(b)$}}$ 之弧長的方法, 為以內接折線長 之和來估計設 $P=\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}$ 表 $[a, b]$ 之一分割, 以 $I_P$ 表 $n$ 個 線段所組成之折線 $P(x_0)P(x_1)\cdots \linebreak P(x_n)$ $I_P$ 之長度以 $\vert I_P\vert$ 表之, 顯然

\begin{displaymath} \vert I_P\vert=\sum_{i=1}^nP(x_{i-1})P(x_i), \end{displaymath}
其中 $P(x_{i-1})P(x_i)$ 表連接 $P(x_{i-1})$ 與 $P(x_i)$ 之線段長

利用距離公式, 又得

\begin{displaymath} \vert I_P\vert=\sum_{i=1}^n\sqrt {(x_i-x_{i-1})^2+(f(x_i)-f(x_{i-1}))^2}\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large }} \end{displaymath}。 (3.1)

如果 $f$ 為一可微函數, 則均值定理適用。 因此在 $(x_{i-1}, x_i)$ 中存在一點 $z_i$, 使得
\begin{displaymath} \vert I_P\vert=\sum_{i=1}^n\sqrt {1+f'^2(z_i)}\Delta x_i\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large }} \end{displaymath},

其中 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$。


圖 3.1.

       若分割的愈來愈細, 我們預期 $\vert I_P\vert$ 與前述弧長很接近即若 $P_1,P_2,\cdots$ 為一數列 $[a, b]$ 之分割, 滿足 $\lim_{n\to\infty }\vert\vert P_n\vert\vert=0$, 則一個合理的猜測是以 $\lim_{n\to\infty }\vert I_{P_n}\vert$ 當做 $\hspace{0.45cm} \mbox{\raisebox{0.3cm} {$\hookrightarrow$}} \hspace{-1cm} \mbox{{$P(a)P(b)$}}$ 之弧長, 只要此極限存在。 我們給下述定義
　

定義. 設 $f$ 為閉區間 $[a, b]$ 之一平滑函數, 則 $\hspace{0.45cm} \mbox{\raisebox{0.3cm} {$\hookrightarrow$}} \hspace{-1cm} \mbox{{$P(a)P(b)$}}$ 之弧長為

\begin{displaymath} L=\int_a^b\sqrt {1+f'^2(x)}dx\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large }} \end{displaymath}。

例 1.求在函數 $f(x)=x^{3/2}$ 之圖形上, 由 $x=0$ 至 $x=4$ 之弧長。

例 2.求拋物線 $y=4kx^2$, $k>0$, 介於 $x\in [a, b]$ 之弧長。

       對於不是函數圖形的曲線, 我們常以參數法 (parameter method) 來描述。即以

\begin{displaymath} x=x(t),\ y=y(t),\ t\in I, \end{displaymath} (3.5)

來表示此曲線, 其中 $t$ 稱為參數。通常假設 $x(t)$ 與 $y(t)$ 皆為連續函數, 且有相同的定義域。當然以前的函數圖形亦可以
, $y=y(t)=f(t)$
的參數法來表示。另外, 如圓 $x^2+y^2=r^2$, 其圖形並非一函數圖形,
\begin{displaymath} x=r\cos t, \ y=r\sin t, t\in [0, 2\pi), \end{displaymath}
　

為以參數法之表示。 若 $I=[a, b]$, 且 $x(t)$ 與 $y(t)$ 皆為連續可微, 則 (3.5) 描述的曲線之弧長定義為

\begin{displaymath} L=\int_a^b\sqrt {(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large }} \end{displaymath}。 (3.6)

以 (3.6) 來定義曲線之弧長為定義 3.1 之一推廣。


例 3.求圓 $x^2+y^2=k^2$, $k>0$, 之周長。


例 4.試證橢圓

\begin{displaymath} x=x(t)=a\sin t,\ y=y(t)=b\cos t,\ t\in [0,2\pi), \end{displaymath}
其中 $0<b<a$, 之周長為下述積分
\begin{displaymath} 4a\int_0^{2\pi}\sqrt {1-e^2\sin^2 t}dt, \end{displaymath} (3.7)

其中 $e=\sqrt {a^2-b^2}/a$。 

　

       最後, 以參數法來求弧長, 也可輕易地推廣至 3 維空間 (甚至 $n$ 維空間)。

       在 6.1 節我們所求都是有關平面上圖形的面積。至於曲面的面積如何求呢? 譬如說一半徑為 $r$ 之球的表面積為何? 設有一連續函數 $y=f(x)$, $x\in [a, b]$, 將 $f$ 之圖形對 $x$ 軸旋轉, 得到一旋轉曲面在適當的條件下, 此旋轉曲面的面積是可以求出的。我們先看如何求圓錐側面積。


例 5.設有一正圓錐, 作二平行底之平面, 將圓錐截出二半徑 分別為 $r_1$ 及 $r_2$ 之圓斜面寬設為 $l$ (見圖 3.2)。 則截出之斜面面積 為 $\pi l(r_1+r_2)$。   

     


例 6.設 $f(x)\geq 0$, $\forall x\in [a, b]$, 為一連續可微的函數將 $f$ 之圖形繞 $x$ 軸旋轉, 以 $S$ 表所得之旋轉面。求 $S$ 之面積 $A(S)$。

         令 $P_n=\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}$ 為 $[a, b]$ 之一分割, 以 與
之連線段, 繞 $x$ 軸旋轉, 得到一如上例中 之圓錐的截面之面積, 當做 $f$ 在 $[x_i, x_{i-1}]$ 之圖形繞 $x$ 軸旋轉所得旋轉面之面積的近似值。則

。

(3.8)


再由均值定理知, 存在一 $\xi_i\in (x_{i-1}, x_i)$, 使得

\begin{displaymath} f(x_i)-f(x_{i-1})=(x_i-x_{i-1})f'(\xi_i)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large }} \end{displaymath}。
　
得
\begin{displaymath} A(S)\doteq \sum_{i=1}^n\pi (f(x_{i-1})+f(x_i))\sqrt {1+(f'(\xi_i))^2}\Delta x_i, \end{displaymath} (3.9)
其中 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$。令 $\{P_n\}$ 表一數列 $[a, b]$ 之分割滿足
$\lim_{n\to\infty }\vert\vert P_n\vert\vert=0$, (3.9) 式之右側其實不是一 Riemann 和, 不過可以證明 (在此略去, 不過參考 (2.5) 式之推導過程不難得到) 當 $n\to\infty $ 時, 它趨近至
\begin{displaymath} 2\pi\int_a^b f(x)\sqrt {1+(f'(x))^2}dx\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large }} \end{displaymath}。
我們便定義
\begin{displaymath} A(S)=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt {1+(f'(x))^2}dx\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large }} \end{displaymath}。 (3.10)

若 $f(x)$ 不一定恆為非負, 則

\begin{displaymath} A(S)=2\pi\int_a^b \vert f(x)\vert\sqrt {1+(f'(x))^2}dx\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large }} \end{displaymath}。 (3.11)


例 7.求 $f(x)=x^3$, $x\in [0, 2]$, 之圖形繞 $x$ 軸旋轉, 所得旋轉面 $S$ 之面積。


例 8.求半徑為 $r$ 之球的表面積。

進一步閱讀資料：黃文璋(2002).  積分之應用。微積分講義第六章，國立高雄大學應用數學系。