體積

 

       利用積分也可求空間中某些區域的體積。設有一立體 S。一平面若與 S 相交其交集為一平面上的區域稱之為截面。設 S 與某一固定直線垂直之所有截面的面積為已知且其變化為連續。亦即設有一座標直線 L使得立體 S 介於分別垂直 L上的兩點 a b 之平面間且經過 [a,b] 中一點 x且垂直 L 之平面對 S 之截面積 A(x)已知(如圖一)又設函數 A(x)在 [a,b] 連續。只有對滿足上述條件的立體 S 我們才定義其體積。

  a

圖一

g[a,b] 之一分割,取 然後分別造出高度為 ,截面積為 之圓柱。則以下述 Riemann

當作 S 之體積 V(S) 之一近似值。

       選取一數列 [a,b] 之分割 ,使得 則我們便定義 V(S)

其中 表對應 之一 Riemann 和。再由 Riemann 定理(第二章定理4.9) 知,上式又極限存在且等於 。綜上所述,便以 當作滿足前面所描述條件之立體 S 的體積。

1.求半徑為 r 之球 S 的體積。 

2. S 表將介於 x=0,x=4x軸及拋物線 間之區域,繞 x 軸旋轉所得之立體,見圖二。求 S 之體積。

 

圖二

    設 ,其中 ,為一連續函數,又設 。若將 f 之圖形下,由 ab的區域,以 R 表之,繞 x 軸旋轉,則由例 2知,所得知立體 S 之體積為

 

    若將R y 軸旋轉,則得一中空的立體。以Q表知,則 Q 之體積 V(Q) 為何?先分成很多中空而間距很小的柱體。也就是設 [a,b] 之一分割。令 表在 f之圖形下,由 間之區域,繞 y 軸旋轉所得之旋轉體。則

其中 ,$M_i$分別表 f 之極小及極大。由上述不等式

 

再由連續函數之中間值定理(第一章定理 6.3)得,存在一 ,使得

,則

為一數列 [a,b] 之分割且滿足。則當 時,上式最後一等號右側第一個 Riemann 和趨近至 。至於第二項和,因

我們便定義

 

例 3.試利用上式求半經為 r 之球 S 的體積。 

例 4.試求 之圖形下,由 x=1 至 x=3 之區域,繞 y 軸旋轉所得立體 S 之體積。

進一步閱讀資料:黃文璋(2002).  積分之應用微積分講義第六章,國立高雄大學應用數學系。