體積

       利用積分也可求空間中某些區域的體積。設有一立體 S。一平面若與 S 相交其交集為一平面上的區域稱之為截面。設 S 與某一固定直線垂直之所有截面的面積為已知且其變化為連續。亦即設有一座標直線 L使得立體 S 介於分別垂直 L上的兩點 a 與 b 之平面間且經過 [a,b] 中一點 x且垂直 L 之平面對 S 之截面積 A(x)已知(如圖一)又設函數 A(x)在 [a,b] 連續。只有對滿足上述條件的立體 S 我們才定義其體積。

  a

圖一

設 為g[a,b] 之一分割，取 然後分別造出高度為 ,截面積為 之圓柱。則以下述 Riemann 和

當作 S 之體積 V(S) 之一近似值。

       選取一數列 [a,b] 之分割 ，使得 ， 則我們便定義 V(S) 為

其中 表對應 之一 Riemann 和。再由 Riemann 定理(第二章定理4.9) 知，上式又極限存在且等於 。綜上所述，便以 當作滿足前面所描述條件之立體 S 的體積。

例 1.求半徑為 r 之球 S 的體積。 

例 2.令 S 表將介於 x=0,x=4，x軸及拋物線 間之區域，繞 x 軸旋轉所得之立體，見圖二。求 S 之體積。

圖二

    設 ，其中 ，為一連續函數，又設 。若將 f 之圖形下，由 a 至 b的區域，以 R 表之，繞 x 軸旋轉，則由例 2知，所得知立體 S 之體積為

。

    若將R 繞 y 軸旋轉，則得一中空的立體。以Q表知，則 Q 之體積 V(Q) 為何？先分成很多中空而間距很小的柱體。也就是設 為 [a,b] 之一分割。令 表在 f之圖形下，由 至 間之區域，繞 y 軸旋轉所得之旋轉體。則

又

其中 ,分別表 f 在 之極小及極大。由上述不等式得

  。

再由連續函數之中間值定理(第一章定理 6.3)得，存在一 ，使得

。

令，則

。

設 為一數列 [a,b] 之分割且滿足。則當 時，上式最後一等號右側第一個 Riemann 和趨近至 。至於第二項和，因

，

故

。

我們便定義