積分技巧

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        前面提過，藉助超越函數可大幅度地提高我們積分的能力。本單元我們便再介紹一些積分的方法。

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（A）三角置換法
        設存在一兩變數之有理函數 。若積分算子

  (1) 有 的形式，則往往令 ；

  (2) 有 的形式，則往往令 ；

  (3) 有 的形式，則往往令 。

經過這種代換後，積分算子往往轉換為 或 的有理函數。

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例 1. 求 。     

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例 2. 求 。     

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例 3. 設，試求。     

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        上例就是一個所謂積分公式。例如，欲求

，

先將上述積分改為

，

則看出只要令 ，便可藉助例 3 之公式，求得積分。

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例 4. 求 。      

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（B）有理式之積分

        所謂有理式即二多項式之商。有理式的導數仍為一有理數，但有理式的積分就不一定是有理式了。例如，

  或   

皆非有理式。底下我們討論一般有理式的積分。基本的想法是這樣的：先把一有理式寫成部分分式之和，然後利用一般的積分技巧一項一項積出來。

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例 5. 求 。     

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        若積分算子為一假分式，則先化為帶分式，也就是將有理式 寫成

，

其中及皆為多項式，且之次數低於之次數。若一開始之次數便低於之次數，則且。多項式的部分當然沒問題，其積分仍為一多項式，故我們只需考慮真分式之積分即可。

        由代數中的結果知，每一實係數之多項式皆可表示成一些實係數之一次式及二次式之乘積。例如，

，       

    ，  

。   

因此設有一有理式，且之次數低於，則先分解成一些一次式及二次式之乘積。然後將寫成有限個下述這種形式的分式之和：

及 ，

其中為正整數，為實常數且。條件表二次式 已不能在實數中分解。當一有理式寫成上述這些分式之和後，便稱將其分解成部分分式。因此有理式的積分問題，便轉換成其部分分式之積分。

        我們再稍微說明一下關於部分分式。若為之一因式，且不為之因式，則寫成部分分式後，便有項為

，

其中為常數但可能為 0。只要有某一這種一次式的因子，則寫成部分分式後，便有一個這種和。若為之一因式，，且不為之因式，則寫成部分分式後，便有 項為

，

其中 為常數，但可能為 0。只要有某一這種二次式的因子，則寫成部分分式後，便有一個這種和。

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例 6. 求 。      

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例 7. 求 。      

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例 8. 求 。      

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例 9. 求 。     

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例 10. 求 。     

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（C）可化為有理式之積分

        在（B）中，我們指出，對一真分式，先將它化為一些

及  

之和，其中 。若令 ，則

。

而若令 ，則

其中

                  ，                             ，

， 。

所以對有理式的積分問題，便轉換為只需分別考慮下述諸函數的積分：

， ， 。

我們依序來看。首先

所以 之積分仍為初等函數。其次若令 ，則

最後來求

。

設 ，則

，

且

。

對上式最右一項利用分部積分，得

。

故得下述遞迴公式：

。（1）

若 仍大於 1，則重複上述步驟，最後得

。

故得 可以有理式及 來表示。由（1）式又得對 及 ，

，

而

。

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        由上述討論知，對有理式，我們確實可以初等函數來表示其積分。當然若做得熟練，倒不一定非要化為， 或 的形式。即使對

， ，

也不難求出積分。

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        有一些函數之積分可轉化為有理式之積分。例如，設有一二變數之有理式，而欲求 。若令

，

則

   ， ，

           ， ，

，

。

因此

。

即將原積分轉化為一有理式之積分，而有理式的積分又已經解決了。
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例 11. 求 。     

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        另外，對，及 ，經過三角置換法後 (見（A）)，皆可將欲求之積分，轉為求一關於及之有理式，然後再令，便轉為求一有理式之積分。

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例 12. 求 。      

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例 13. 求 。     

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例 14. 求 。     

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        不過要留意的是，轉換成有理式後，是保證可積出來，但因要化為部分分式，有時計算仍是相當複雜。故若有其他方式可簡易地求出積分，並不用特地將積分算子化為一有理式。

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例 15. 求 。      

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另外，在求

，

若令，會較令簡單許多。一般而言若積分算子為、或 之有理式，通常可令。此因

，                   

，

          。

又往往三角函數的積分會較有理式的積分為我們所歡迎。

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        總之，求積分，並無一定的最佳方法，經驗累積當然是最主要的，只要計算能力好，雖有時不見得採用最簡便的方法，但仍可獲至正確答案。例求

。

我們雖可利用 之變換（見例7），但若另

，

則積分成為

。

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