雙曲函數及反三角函數 a
有一些指數函數的合成在分析及工程上用途不小,因此對這些特別的合成我們加以命名。這些函數統稱雙曲函數,分別為
hyperbolic sine (簡稱
這些函數當然跟三角函數毫不相干,但它們與三角函數有一些類似的性質,此由它們的定義方式也可看出。又因
故若令 a 我們列出雙曲函數的一些基本性質。
a
其次我們討論反三角函數,這是積分學裡重要的函數。首先看 sine
函數。欲反函數存在,必須此函數在某區間為單調才行。當然這種區間很多,如
這樣定義的函數為嚴格漸增,並對每一
表
因
故
但欲上式成立,
由(1)式又得下述不定積分的公式:
當然我們理解欲使上式成立, a 其次討論
cosine 及 tangent 函數的反函數。對於
cosine 函數,我們通常取定義域為區間
表
至於 tangent 函數,取定義域為區間
表
a 如同得到(1)式,可得下述微分公式:
及
由(3)式又得下述結果。
比較(2)式與(5)式,即得
。又由(3)式也導致下述不定積分的公式:
由(4)式也得
及
若利用分部積分及(1)式,可得
同理有
a 同理,也可定義
cotangent , secant 及
cosecant 函數之反函數。又我們令
及
另外,亦有
由上述這些反三角函數的導數公式,不難看出為何在積分中,若需用到反三角函數, 我們通常 (也只需要) 採用 arc sine,arc tangent 及 arc secant 函數便夠了。我們先給三個常用的積分公式。 a 例
1. 對
a 三角函數及反三角函數皆為重要的超越函數,有了這兩類函數,可大幅度地提高我們積分的能力。有趣的是,反三角函數的導數皆不再是超越函數,而為代數函數。三角函數的導數則仍為三角函數。如同對數為指數的反函數,指數函數的導數仍為超越函數,而對數函數的導數就成為代數函數了。 a a a a 進一步閱讀資料:黃文璋(2002). 雙曲函數及反三角函數。微積分講義第五章,國立高雄大學應用數學系。 |