雙曲函數及反三角函數 a 有一些指數函數的合成在分析及工程上用途不小,因此對這些特別的合成我們加以命名。這些函數統稱雙曲函數,分別為 hyperbolic sine (簡稱),hyperbolic cosine ( ),hyperbolic tangent () 等。其定義為 , , , , , 。 這些函數當然跟三角函數毫不相干,但它們與三角函數有一些類似的性質,此由它們的定義方式也可看出。又因 , 故若令,,則,其圖形恰為一雙曲線,這是命名為雙曲函數的原因。 a 我們列出雙曲函數的一些基本性質。
a 其次我們討論反三角函數,這是積分學裡重要的函數。首先看 sine 函數。欲反函數存在,必須此函數在某區間為單調才行。當然這種區間很多,如, ,等皆是。通常我們挑取,並定義一新函數 如下: 。 這樣定義的函數為嚴格漸增,並對每一 間的實數皆能取值。即為自映至的 1-1 且映成的函數。故有一唯一的反函數由 映至。此函數稱為反正弦函數,以 arcsin 或表之。若採用要特別小心,為 的反函數,而非 。故
表 。 因 , 故 。 但欲上式成立, 不可等於 或 。故得(將 與交換) 。(1) 由(1)式又得下述不定積分的公式: 。(2) 當然我們理解欲使上式成立,須屬於 。此正如 arcsine 函數是定義在 間,但只在可微。 a 其次討論 cosine 及 tangent 函數的反函數。對於 cosine 函數,我們通常取定義域為區間 ,在此區間中 cosine 為自映至的 1-1 且映成的函數,因此反餘弦函數存在,以 arccos 或 表之。故
表 。 至於 tangent 函數,取定義域為區間 ,則可定義反正切函數,以 arctan 或 表之。故
表 。 a 如同得到(1)式,可得下述微分公式: ,(3) 及 。(4) 由(3)式又得下述結果。 。(5) 比較(2)式與(5)式,即得 。 。又由(3)式也導致下述不定積分的公式: 。 由(4)式也得 , 及 。 若利用分部積分及(1)式,可得 。 同理有 , 。 a 同理,也可定義 cotangent , secant 及 cosecant 函數之反函數。又我們令取值在,取值在。取成這種奇特的值域是為了積分上的方便。而取值在。由此即得 , 及 。 另外,亦有 , 。 由上述這些反三角函數的導數公式,不難看出為何在積分中,若需用到反三角函數, 我們通常 (也只需要) 採用 arc sine,arc tangent 及 arc secant 函數便夠了。我們先給三個常用的積分公式。 a 例 1. 對 ,試證 , , a 三角函數及反三角函數皆為重要的超越函數,有了這兩類函數,可大幅度地提高我們積分的能力。有趣的是,反三角函數的導數皆不再是超越函數,而為代數函數。三角函數的導數則仍為三角函數。如同對數為指數的反函數,指數函數的導數仍為超越函數,而對數函數的導數就成為代數函數了。 a a a a 進一步閱讀資料:黃文璋(2002). 雙曲函數及反三角函數。微積分講義第五章,國立高雄大學應用數學系。 |