自然成長與衰退

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        指數函數常可用來描述自然界許多有關成長及衰退的模式。由本單元所給的一些例子，可看出指數函數的重要性，及此函數之產生是很自然的。

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（A）由一微分方程來引出指數函數

        一方程式中若含有導數便稱為微分方程式。我們可如下地由一簡單的性質來引出指數函數。

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      上述定理給出指數函數之一特性：這是唯一導數與原函數成正比( ) 之函數。（1）式成為指數函數之一重要的性質。

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（B）複利問題

        假設存一單位的錢在銀行且採複利計息，利率為每年 。若每年計息一次，則 年後之本利和為

。

若每月計息一次，則年後之本利和為

。

若每日計息一次，一年以 日計，則年後之本利和為

。

若一年計息 次, 則年後之本利和為

。

        讓一直增大，理論上是可行的，即在愈來愈短的時間內便複利一次，則當 時，年後之本利和趨近至。此處不需是正整數，可以是任一正數。

        不斷地複利給我們的感覺是利息會比一年計息一次增加許多。試舉一例。令 ，且存一單位的錢。若一年計息一次，則一年後之本利和為 1.1。但若不斷複利，則一年後之本利和為 ，並不比 1.1 大多少。若有一家銀行宣稱它年利率為，但每日計息一次，另一家銀行為年利率為，但一年計息一次。則第一家銀行一年後的本利和小於。 即第二家銀行仍是對存戶較有利。若不經過這些比較，通常我們會誤以為不斷複利，就會使利息大幅度地增快。

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        有些生物的成長，也是類似不斷地複利，因此在時間該生物之數量，通常有下述形式

，（2）

其中易見表在時間之數量。雖然生物的數量應是整數，但當數量很大時，（2）式仍是一個很好的表示法，只有些微的誤差。而若在時間之數量有（2）式之形式，則在時間之變化率 。因此

，（3）

亦即在任一時刻之變化率與現有量之比為一常數。

        另一方面，在（A）中已看到了，若（3）式成立，則，其中為一常數。所以此二模式是等價的：變化率與現有量之比為一常數，及成長是以不斷複利的方式。

        有些放射性物質，其衰退之變化也是與現有量成正比，即（3）式中之為負值，因此在時間之量亦有（2）式的形式。

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例 1. 設某放射性物質之半衰期為 1600 年 (即經 1600 年後其質量減半)。若一開始有 150 克，求年後之餘量及問經過多久質量成為 30 克？   

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例 2. 設銀行之年利率為 ，且不斷複利，問多久後本利和可達到原來的 3 倍？  

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例 3. 假設某粒子之減速度與速度成正比。又設起始速度為 100 公尺/秒，且經 2 秒後速度 40 公尺/秒。問

  (1)  5 秒後該粒子之速度為何？

  (2) 至時間 ， ，共走多少距離。  

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例 4. 設某細菌一開始有 1000 個，且經 2 小時後成為 8000 個。問經小時後有若干？   

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        某些方程式與指數函數關係密切，我們先給下述定理。

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        底下為上述定理之一立即的推論。

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進一步閱讀資料：黃文璋(2002).  自然成長與衰退。微積分講義第五章，國立高雄大學應用數學系。