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積分的基本性質及理論

　

        本節我們介紹一些積分的基本性質及理論。一函數在某一區間可積，只是說其積分值存在，並不表示此積分值可明確地表示出來。以上和及下和或以其他簡單函數的積分來逼近其積分值，是常用的方式。

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定理 1. 設 f 為 [a, b] 之一有界函數，令 xi = a + i(b-a)/n，i = 0, 1, …, n，其中 n > 1 為一正整數。

(1) 若 f 為漸增，且對 ，B 滿足下述不等式

，

則 。

(2) 若 f 為漸減，且對 ，B 滿足下述不等式

，

則 。

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定理 2.

(1)（線性）設 f 及 g 皆在 [a, b] 可積，則對任意實數 c1､c2，c1 f + c2 g 亦可積，且

。

(2) （加性）下述任二積分存在都會導致第三個積分存在，且

。

(3)（平移之不變性）設 f 在 [a, b] 可積，則對任一實數 c，

。

(4)（尺度之改變）設 f 在 [a, b] 可積，則對 ，

。

(5)（比較定理）設 f 及 g 皆在 [a, b] 可積，且 ，，則

。

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例 1. 求下述各積分。

  (1) ；

  (2) ，其中 [•] 為最大整數函數。        

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定理 3.設 f 為 [a, b] 上之一連續函數，則 f 在 [a, b] 可積。

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定理 4.設有界函數  f 在 [a, b] 可積，{Pn , n < 1}為一數列之 [a, b] 的分割，且滿足 

。

又設 R (Pn) 為任一對應 Pn 之 Riemann 和，則

。

註. 由上定理得，若 Pn 為  [a, b] 之一 n 等分正規分割，則 ( 因 ，當 )

。

上式之左側為一 Riemann 和之極限， ，zi 為 [xi-1,xi] 中任一點。

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例 2.設 p 為一正整數，且 b > 0，求 。       

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例 3.將 表示成一積分。       

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定理 5.（積分之均值定理）設  f 在 [a, b] 上連續，則存在一 ，使得

。

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例 4.舉例說明在積分之均值定理中，f 為連續的假設是必要的。       

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進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 積分的基本性質及理論。微積分講義第二章，國立高雄大學應用數學系。