齊性一階線性微分方程式

  a

  一二變數函數 $F(x,y)$, 若滿足

\begin{displaymath}
F(tx, ty)=t^n F(x,y),
\end{displaymath}

$\forall t$$(x,y)$, 只要 $(x,y)$$(tx,ty)$ 皆在 $F$ 之定義域, 便稱為 一 $n$ 次齊性函數諸如 $f(x,y)=ax+by$, $g(x,y)=ax^2+bxy+cy^2$ $h(x,y)=ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3$ 便分別為 1 次、2 次及 3 次齊性函數另外, 若令

\begin{displaymath}
F(x,y)=x^2+\frac {x^3+2y^3} y,
\end{displaymath}

則因

\begin{displaymath}
F(tx,ty)=(tx)^2+\frac {(tx)^3+2(ty)^3}{ty}=t^2 F(x,y),
\end{displaymath}

$F$ 為一二次齊性函數又若

\begin{displaymath}
G(x,y)=\frac 1{x+y}\sin\frac {x-y}{x+y},
\end{displaymath}

則因

\begin{displaymath}
G(tx,ty)=\frac 1{tx+ty}\sin\frac {tx-ty}{tx+ty}=t^{-1}G(x,y),
\end{displaymath}

$G$ 為一負一次齊性函數

  現若 $R(x,y)$$S(x,y)$ 為同次的齊性函數, 則

\begin{displaymath}
R(x,y)+S(x,y)y'=0
\end{displaymath}

(1.1)

便稱為齊性微分方程式 底下我們來看這種方程式的解法

  我們將試找一可微的函數 , 使得 $y=xg(x)$, $x\neq 0$, 為 (6.1) 之解若令 $v=g(x)$, 則

\begin{displaymath}
y=xv,\ \ y'=v+xv',
\end{displaymath}

代入 (6.1) 式得

\begin{displaymath}
R(x,xv)+S(x,xv)(v+xv')=0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}

$R$$S$$n$ 次齊性函數, 則因

\begin{displaymath}
R(x,xv)=x^n R(1,v),\ \ S(x,xv)=x^n S(1,v),
\end{displaymath}

故 (6.1) 式成為

\begin{displaymath}
R(1,v)+S(1,v)(x+xv')=0,
\end{displaymath}

由此又得

\begin{displaymath}
\frac 1 x+\frac {S(1,v)}{R(1,v)+vS(1,v)}v'=0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}

(1.2)

故若 $v=g(x)$ 為 (6.2) 之一解, 則 $y=xg(x)$ 為 (6.1) 之解

  由以上的推導知, 一齊性微分方程式必可轉換為一可分離的微分方程式若採用微導的記號, 令 $y=xv$, 則 $dy=xdv+vdx$, 便將

\begin{displaymath}
R(x,y)dx+S(x,y)dy=0
\end{displaymath}

轉換為一可分離的微分方程式

\begin{displaymath}
\frac 1 xdx+\frac {S(1,v)}{R(1,v)+vS(1,v)}dv=0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}

 


例 1.試解

\begin{displaymath}
(y-4x)dx+(y+2x)dy=0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}    

 


例 2.試解

\begin{displaymath}
(x-y\tan\frac yx)dx+x\tan\frac y x dy=0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{displaymath}   

  
        

進一步閱讀資料:黃文璋(2002). 齊性一階線性微分方程式微積分講義第十一章,國立高雄大學應用數學系。