齊性一階線性微分方程式

  a

　　一二變數函數 $F(x,y)$, 若滿足

\begin{displaymath} F(tx, ty)=t^n F(x,y), \end{displaymath}

對 $\forall t$ 及 $(x,y)$, 只要 $(x,y)$ 及 $(tx,ty)$ 皆在 $F$ 之定義域, 便稱為 一 $n$ 次齊性函數。諸如 $f(x,y)=ax+by$, $g(x,y)=ax^2+bxy+cy^2$ 及 $h(x,y)=ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3$ 便分別為 1 次、2 次及 3 次齊性函數。另外, 若令

\begin{displaymath} F(x,y)=x^2+\frac {x^3+2y^3} y, \end{displaymath}

則因

\begin{displaymath} F(tx,ty)=(tx)^2+\frac {(tx)^3+2(ty)^3}{ty}=t^2 F(x,y), \end{displaymath}

故 $F$ 為一二次齊性函數。又若

\begin{displaymath} G(x,y)=\frac 1{x+y}\sin\frac {x-y}{x+y}, \end{displaymath}

則因

\begin{displaymath} G(tx,ty)=\frac 1{tx+ty}\sin\frac {tx-ty}{tx+ty}=t^{-1}G(x,y), \end{displaymath}

故 $G$ 為一負一次齊性函數。

　　現若 $R(x,y)$ 與 $S(x,y)$ 為同次的齊性函數, 則

\begin{displaymath} R(x,y)+S(x,y)y'=0 \end{displaymath}

(1.1)

便稱為齊性微分方程式 。 底下我們來看這種方程式的解法。

　　我們將試找一可微的函數 , 使得 $y=xg(x)$, $x\neq 0$, 為 (6.1) 之解。若令 $v=g(x)$, 則

\begin{displaymath} y=xv,\ \ y'=v+xv', \end{displaymath}

代入 (6.1) 式得

\begin{displaymath} R(x,xv)+S(x,xv)(v+xv')=0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

若 $R$ 與 $S$ 為 $n$ 次齊性函數, 則因

\begin{displaymath} R(x,xv)=x^n R(1,v),\ \ S(x,xv)=x^n S(1,v), \end{displaymath}

故 (6.1) 式成為

\begin{displaymath} R(1,v)+S(1,v)(x+xv')=0, \end{displaymath}

由此又得

\begin{displaymath} \frac 1 x+\frac {S(1,v)}{R(1,v)+vS(1,v)}v'=0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

(1.2)

故若 $v=g(x)$ 為 (6.2) 之一解, 則 $y=xg(x)$ 為 (6.1) 之解。

　　由以上的推導知, 一齊性微分方程式必可轉換為一可分離的微分方程式。若採用微導的記號, 令 $y=xv$, 則 $dy=xdv+vdx$, 便將

\begin{displaymath} R(x,y)dx+S(x,y)dy=0 \end{displaymath}

轉換為一可分離的微分方程式

\begin{displaymath} \frac 1 xdx+\frac {S(1,v)}{R(1,v)+vS(1,v)}dv=0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

　


例 1.試解

\begin{displaymath} (y-4x)dx+(y+2x)dy=0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}    

　


例 2.試解

\begin{displaymath} (x-y\tan\frac yx)dx+x\tan\frac y x dy=0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}   

　　
        

進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 齊性一階線性微分方程式。微積分講義第十一章，國立高雄大學應用數學系。