齊性一階線性微分方程式 a 一二變數函數 , 若滿足
對 及 , 只要 及 皆在 之定義域, 便稱為 一 次齊性函數。諸如 , 及 便分別為 1 次、2 次及 3 次齊性函數。另外, 若令
則因
故 為一二次齊性函數。又若
則因
故 為一負一次齊性函數。 現若 與 為同次的齊性函數, 則
便稱為齊性微分方程式 。 底下我們來看這種方程式的解法。 我們將試找一可微的函數 , 使得 , , 為 (6.1) 之解。若令 , 則
代入 (6.1) 式得
若 與 為 次齊性函數, 則因
故 (6.1) 式成為
由此又得
故若 為 (6.2) 之一解, 則 為 (6.1) 之解。 由以上的推導知, 一齊性微分方程式必可轉換為一可分離的微分方程式。若採用微導的記號, 令 , 則 , 便將
轉換為一可分離的微分方程式
進一步閱讀資料:黃文璋(2002). 齊性一階線性微分方程式。微積分講義第十一章,國立高雄大學應用數學系。 |
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