微分方程式之級數解

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　　級數

\begin{displaymath} f(x)=\sum_{n=0}^{\infty } a_n(x-x_0)^n \end{displaymath}

在其收斂區間定義出一函數。對一微分方程式, 有時也可藉由級數來表示其解。見下例。

例 1.求 $y''+xy'+y=0$ 之一級數解。 

　

　　對一微分方程式

\begin{displaymath} a_n(x)y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y=G(x), \end{displaymath}

若 $a_n(x_0)=0$, 則 $x=x_0$ 稱為此微分方程式之一奇異點 。級數的解只在不包含 $x_0$ 的區間存在。


例 2.試解

\begin{displaymath} (1-x^2)y''-6xy'-4y=0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}　　　

　

　　一函數若在某區間中可表示成一冪級數, 則稱此函數在該區間中為解析的, 上述作法便是找一微分方程式之解析解。我們給下述定理。

　

定理 1.設 $y=f(x)$ 為 $y''=ky$ 在 $[x_1, x_2]$ 之解, $x_1<x_2$。則 $f$ 在前述區間為解析的。                                                                                證明

 
　　利用級數解也可證明唯一性定理 。 設 $g_1$ 及 $g_2$ 為 $y''=ky$ 之二解, 且滿足

\begin{displaymath} g_1(x_0)=g_2(x_0),\ g_1'(x_0)=g_2'(x_0), \end{displaymath}

其中 $x_0\in [x_1, x_2]$。令

\begin{displaymath} f(x)=g_1(x)-g_2(x), \end{displaymath}

則 $f$ 仍為 $y''=ky$ 之一解, 且 $f(x_0)=f'(x_0)=0$。因

\begin{displaymath} f''(x_0)=kf(x_0),\ f'''(x_0)=kf'(x_0),\ f^{(4)}(x_0)=k^2f(x_0), \end{displaymath}

即對 $\forall n\geq 1$,

\begin{displaymath} f^{(n)}(x_0)=0\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

由定理 1 ( 即 (7.1) 式),

\begin{displaymath} f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac {f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n,\ \ \forall x\in[x_1, x_2], \end{displaymath}

而此冪級數之每一係數皆為 0, 故 $f(x)\equiv 0$, $\forall x\in [x_1,x_2]$。因此

\begin{displaymath} g_1(x)=g_2(x),\ \ \forall x\in [x_1, x_2]\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

換句話說, 由給定起始條件當 $x=x_0$ 時, $y=y_0$, $y'=y_1$, 可唯一決定 $y''=ky$ 之解。

        

進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 微分方程式之級數解。微積分講義第十一章，國立高雄大學應用數學系。