高 維 重 積 分

　

  a　　重積分的概念可由二維空間推廣至 $n$ 維空間, 其中 $n\geq 3$。由於其架構完全類似二維的情況, 所以我們只描述主要的結果。

　　如 10.1 節所述, 假設有一定義在 $n$ 維空間之純量函數 $f$, 則 $f$ 在 $S$ 之積分, 稱為 $n$ 重積分, 且以

表之。當$n=3$ , 我們以 $(x, y, z)$ 取代 $(x_1, x_2, x_3)$, 且以
表三重積分。

　　仿定義二重積分的方式, 我們仍可藉助階梯函數, 定義函數 $f$ 之 $n$ 重積分。而 $f$ 為可積的條件也類似二重積分所需的條件, 可參考定理 3.2. 在適當的條件下, $n$ 重積分也可經由 $n$ 次逐次積分求出積分值。

　　二重積分裡的變數代換公式, 也可立即推廣至 $n$ 重積分。設

\begin{displaymath} x_1=X_1(u_1,\cdots,u_n),\cdots,x_n=X_n(u_1,\cdots,u_n)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}
令 $\mbox{\boldmath {$x$}}=(x_1,\cdots,x_n)$, $\mbox{\boldmath {$u$}}=(u_1,\cdots,u_n)$,$\mbox{\boldmath {$X$}}=(X_1,\cdots,X_n)$ , 則上述這些等式定義出一由 $n$ 維空間中之一集合 $T$ 映至另一 $n$ 維空間之集合 $S$ 的向量值函數
\begin{displaymath} \mbox{\boldmath {$X$}}: T\rightarrow S\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}
我們假設函數 $\mbox{\boldmath {$X$}}$ 為 $1\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}1$ 且在$T$中連續可微。則 $n$ 維的積分變換公式為

(6.1)
其中
\begin{displaymath} J(\mbox{\boldmath {$u$}})=\mbox{det} D\mbox{\boldmath {$X$}}(\mbox{\boldmath {$u$}}), \end{displaymath} (6.2)
而

\begin{displaymath} D\mbox{\boldmath {$X$}}(\mbox{\boldmath {$u$}})=\left(\begin... ... {$u$}}) \end{array}\right)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

如同在二維的情況, 代換公式 (6.1) 當$\mbox{\boldmath {$X$}}$為在 $T$ 中之 $1-1$ 變換, 且 Jacobian$J(\mbox{\boldmath {$u$}})$在 $T$ 中皆不為 0 成立。當然若在 $T$ 中一“體積” (在 $n$ 維空間中我們以體積的稱呼取代面積) 為 0的積分中, $\mbox{\boldmath {$X$}}$ 不為 $1\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}1$ 或在這種集合中 $J(\mbox{\boldmath {$u$}})=0$, 則代換公式仍成立。

　　當$n=3$ , 我們以 $(x, y, z)$ 取代 $(x_1, x_2, x_3)$, 以$(u, v, w)$取代 $(u_1, u_2, u_3)$, 以$(X, Y, Z)$取代 $(X_1, X_2, X_3)$, 則三重積分之代換公式成為

\begin{eqnarray*} &&\int\!\!\int\!\!\int_S f(x, y, z)dxdydz \\ &&= \int\!\!\int... ...X(u, v, w), Y(u, v, w), Z(u, v, w))\vert J(u, v, w)\vert dudvdw, \end{eqnarray*}

其中

　　底下我們來看兩個三維裡重要的變換。


例6.1.圓柱座標 (cylindrical coordinates)。以 $r, \theta , z$ 取代 $u, v, w$, 且令

\begin{displaymath} x=r\cos\theta ,\ y=r\sin\theta ,\ z=z\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

即以 $x, y$ 之極座標代換 $x$ 及 $y$, 而 $z$ 不變。欲使此代換為 $1\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}1$, $r$ 須為正, 而 $\theta \in [0,2\pi)$。圖 6.1 顯示一在 $r$-$\theta $-$z$ 空間中的長方體映至 $x$-$y$-$z$ 空間中的形狀。

圖 6.1. 圓柱座標之轉換

　　對圓柱座標, Jacobian 為

\begin{displaymath} J(r,\theta ,z)=\left\vert\begin{array}{ccc} \cos\theta & \si... ...s^2\theta +\sin^2\theta )=r\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}
故代換公式為


\begin{displaymath} \int\!\!\int\!\!\int_S f(x, y, z)dxdydz= \int\!\!\int\!\!\in... ...sin\theta , z)rdrd\theta dz\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

當$r=0$時, Jacobian$=0$ , 但因這種點的集合在三度空間中之體積為 0, 故不影響 代換公式的有效性。


例 2.球座標 (spherical coordinates)。我們以 $\rho, \theta ,\phi$ 取代 $u, v, w$, 且令

\begin{displaymath} x=\rho\cos\theta \sin\phi,\ y=\rho\sin\theta \sin\phi,\ z=\rho\cos\phi\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}
圖 6.2 顯示此代換的幾何意義。

圖 6.2. 球座標之轉換

　　欲使此代換為 $1\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}1$, 取 $\rho>0$, $0\leq \theta <2\pi$, $0\leq \phi<\pi$。對任意常數 $c_1, c_2, c_3$, 曲面 $\rho=c_1$, 表以一原點為球心, 半徑為$c$之 球面; 曲面$\theta =c_2$ , 為一通過 $z$ 軸之平面; 而曲面 $\phi=c_3$ , 表一以 $z$ 為中心軸之正圓錐。故一$\rho$ -$\theta $-$\phi$ 空間中之長方體, 在 $x$-$y$-$z$ 空間中的形狀 如圖 6.2 所示。

　　這種代換之 Jacobian 為

\begin{displaymath} J(\rho,\theta ,\phi)=\left\vert\begin{array}{ccc} \cos\theta... ...right\vert =-\rho^2\sin\phi\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}

因$\phi\in[0,\pi)$ , $\sin\phi\geq 0$, 故$\vert J(\rho,\theta ,\phi)\vert=\rho^2\sin\phi$ , 且代換公式成為

\begin{eqnarray*} && \int\!\!\int\!\!\int_S f(x, y, z)dxdydz \\ && = \int\!\!\i... ...2\sin\phi d\rho d\theta d\phi\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{eqnarray*}

再度地, 雖當$\phi=0$時 $J(\rho,\theta ,\phi)=0$, 但因在三維空間中, $\phi=0$ 之點的集合之體積為 0, 故代換公式仍有效。


　　利用重積分也可求一 $n$ 維立體的體積。設有一 $n$ 維的集合 $S$, 則 $S$ 之體積為

\begin{displaymath} V(S)=\int\cdots\int_S dx_1\cdots d{x_n}, \end{displaymath}

當然欲上式成立, $S$ 也須有些限制才行。


例 3.求在拋物面$z=4-x^2-y^2$之下, 且在平面 $z=4-2x$ 之上的立體的體積。 


例 4.令 $S_n(a)$ 表一 $n$ 維半徑 $a$ 的實心球, 即令

\begin{displaymath} S_n(a)=\{(x_1,\cdots,x_n)\vert x_1^2+\cdots+x_n^2\leq a^2\}, \end{displaymath}
且令
\begin{displaymath} V_n(a)=\int\cdots\int_{S_n(a)} dx_1\cdots dx_n, \end{displaymath}
表 $S_n(a)$ 之體積。則
\begin{displaymath} V_n(a)=\frac {\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2+1)}a^n,\ \ \forall n\geq 1\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath} (6.3)

　

進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 高維重積分。微積分講義第十章，國立高雄大學應用數學系。