10.5變數代換

變　數　代　換

　　在單變函數的積分中, 變數代換為一重要的積分技巧, 許多複雜的積分, 往往可藉助變數代換, 而轉成較簡單的形式因而積出。此法是基於下述公式:

$\begin{displaymath} \int_a^b f(x)dx=\int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(g(t))g'(t)dt\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

(5.1)

在第 3.3 節, 於為連續可微及為連續的條件下, 我們證明上式成立。

　　對於兩個變數, 我們也有一類似 (5.1) 的公式, 也就是二重積分的變數代換公式, 此公式可將一在 - 平面上一區域上的積分 $\int\!\!\int_S f(x, y)dxdy$ , 轉為一在 - 平面上一區域的二重積分 $\int\!\!\int_T g(u, v)dudv$ 。底下我們便將給出與的關係及與的關係。

　　二重積分的變數代換, 較一維的情況複雜許多。此因有二變數要代換, 亦即不若在 (5.1) 中只有一函數出現, 現在會有二函數, 以表之, 此二函數結合與如下:

(5.2)

上述二函數將 - 平面上一點映至 - 平面上一點。而 - 平面上一集合便映至 - 平面上一集合。

　　有時由 (5.2) 中之二式, 可解出以及表之, 即得

$\begin{displaymath} u=U(x, y),\ \ v=V(x, y)\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

上述二式定義出一由 - 平面至 - 平面的映射, 稱為 (5.2) 所定義之映射的反映射。11 映射為一特例, 即中不同的點映至中不同的點。

　　我們將只考慮及為連續函數, 且 $\partial X/\partial u$ , $\partial X/\partial v$ , , $\partial Y/\partial v$ , 等偏導數皆為連續。對及也做類似的假設。大部分我們實際遇到的函數, 皆會滿足這些條件。二重積分的變數代換公式為

(5.3)

上式右側積分算子中的 , 與 1 維公式中的所扮演的角色相同。此項稱 Jacobian determinant (行列式), 或只稱 Jacobian, 它等於

有時以取代。

　　(5.3) 式的證明可參考 Apostol (1974) Theorem 15.11。除了前述關於及之假設外, 尚須設由至之映射為 11 且 $T(u, v)\neq 0$ 。不過若只是在一面積為 0 的集合中, 此映射不為 11 或 Jacobian 為 0, 則 (5.3) 式仍成立。當為一矩形且 $f(x, y) \linebreak =1$ , $\forall (x, y)\in S$ , 則 (5.2) 式成為

$\begin{displaymath} \int\!\!\int_S dxdy=\int\!\!\int_T\vert J(u, v)\vert dudv\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

(5.4)

即使對此特例, 證明也不容易。藉助 Green 定理, Apostol (1969) Section 11.29 給了一 (5.4) 式之證明。然後在 Section 11.30, 由此特例導出 (5.3) 式。

　　Jacobian 可視為二維變數代換過程中, 由 - 平面至 - 平面, 一邊長分別 $\Delta u$ 及 $\Delta v$ 的矩形的面積變化因子。關於這方面的幾何解釋, 可參考 Apostol (1969) pp.394-396。

　　我們來看一些例子。

例 1.極座標 (polar coordinates)。令

$\begin{displaymath} x=r\cos\theta ,\ y=r\sin\theta , r>0, 0\leq \theta < 2\pi, \end{displaymath}$

則此為在 - $\theta$ 平面上矩形 $[0,a]\times [0, 2\pi)$ 之任一子集上的 $1\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}1$ 變換。此變換之 Jacobian 為

$\begin{eqnarray*} J(r,\theta )=\left\vert\begin{array}{cc} \frac {\partial x}{\p... ...cos^2\theta +\sin^2\theta )=r\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{eqnarray*}$

故轉換公式成為

$\begin{displaymath} \int\!\!\int_S f(x, y)dxdy=\int\!\!\int_Tf(r\cos\theta , r\sin\theta )rdrd\theta \mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

- $\theta$ 平面上一矩形對應至 - 平面上一扇形, 如圖 5.1。當時 Jacobian 為 0, 但因之點的集合之面積為 0, 故不影響轉換公式的成立。

圖 5.1. 極座標之轉換

　　若積分區域的邊界是沿著或 $\theta$ 為常數, 則極座標的轉換便會很適合。例如, 在求第一卦限之半徑為之球的體積, 即求

$\begin{displaymath} \int\!\!\int_S\sqrt {a^2-x^2-y^2}dxdy, \end{displaymath}$

其中 $S=\{(x, y)\vert x^2+y^2\leq a^2, x\geq 0, y\geq 0\}$ 。若變換為極座標, 積分成為

$\begin{displaymath} \int\!\!\int_T\sqrt {a^2-r^2}rdrd\theta , \end{displaymath}$

其中為矩形 $[0,a]\times [0,\pi/2)$ 。上述積分可很容易地求出為 $\pi a^3/6$ 。

例 2.線性變換 (linear transformations)。考慮下述線性變換:

(5.5)

其中為常數。則 Jacobian 為

$\begin{displaymath} J(u, v)=AD-BC\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

為了使 Jacobian 不為 0, 我們假設 $AD-BC\neq 0$ , 如此才能由 (5.5) 解出及。

　　原來平行的二直線, 經過線性變換, 仍為平行。故 - 平面上一矩形, 經此變換後, 成為 - 平面上一平行四邊形, 而面積為原來矩形的面積乘上 $\vert J(u, v)\vert=\vert AD-BC\vert$ 。變換公式為

$\begin{displaymath} \int\!\!\int_S f(x, y)dxdy=\vert AD-BC\vert\int\!\!\int_T f(Au+Bv, Cu+Dv)dudv\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

　　舉一個例子來看, 考慮積分 $\int\!\!\int_Se^{-(y-x)/(y+x)}dxdy$ , 其中為由直線及二座標軸所構成之三角形, 見圖 5.2。由於積分算子中有及 , 所以令

$\begin{displaymath} u=y-x,\ \ v=y+x\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{displaymath}$

解出 , , 。欲求在 - 平面上之映象, 因直線及分別映至直線及 , 且直線映至。故為一三角形, $0\leq v\leq 2$ , $-v\leq u\leq v$ 。因此

$\begin{eqnarray*} &&\int\!\!\int_S e^{(y-x)/(y+x)}dxdy = \frac 1 2\int\!\!\int_T... ...nt_0^2 v(e-e^{-1})dv=e-e^{-1}\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }} \end{eqnarray*}$

圖 5.2. 線性變換之映射

進一步閱讀資料：黃文璋(2002). 變數代換。微積分講義第十章，國立高雄大學應用數學系。