Green  定  理

  a

  二重積分及線積分間有一重要的關係, 即可將在平面上一區域的二重積分, 以此區域的邊界的線積分來表示此結果通常稱為 Green 定理

  在敘述此定理之前, 我們再介紹一符號 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 為平面上一逐段平滑的簡單封閉曲線 (即若 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}(a)=\mbox{\boldmath {$\lambda$}}(b)$, 且 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}(t_1)\neq \mbox{\boldmath {$\lambda$}}(t_2)$, $\forall t_1\neq
t_2$, $t_1$, $t_2\in [a,b)$, 則 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}(t)$, $t\in [a, b]$, 所描述 出的曲線便稱為一簡單封閉曲線平面上一圓即為一例)則向量值函數 $(A(x, y), B(x, y))$ $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 上逆時針方向的線積分以

\begin{displaymath}
\oint_{\mbox{\boldmath {$\lambda$}}}(Adx+Bdy)
\end{displaymath}

表之

定理1.(Green 定理). 設 $S$ 為平面上一開集合, $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$$S$ 中一逐段平滑的簡單封閉曲線, 且其內點亦在 $S$又設 $A(x, y)$$B(x, y)$ 為二實值函數, 且在 $S$ 中有連續的一階偏導數

\begin{displaymath}
\oint_{\mbox{\boldmath {$\lambda$}}}(Adx+Bdy)=\int\!\!\int_Q...
... {\partial B}{\partial x}-\frac {\partial A}{\partial y})dxdy,
\end{displaymath}

(4.1)

其中 $Q$ 為平面上 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 及其內點所構成之集合  

  a

  若能證出

\begin{displaymath}
\oint_{\mbox{\boldmath {$\lambda$}}}Adx=\int\!\!\int_Q\frac {\partial A}{\partial y}dxdy,
\end{displaymath}

(4.2)


\begin{displaymath}
\oint_{\mbox{\boldmath {$\lambda$}}}Bdy=\int\!\!\int_Q\frac {\partial B}{\partial x}dxdy,
\end{displaymath}

(4.3)

則此二式左、右分別相加, 便得 (4.1) 成立

  我們先對 $Q$ 為一第一型的區域, 證明 (4.2) 成立即設

\begin{displaymath}
Q=\{(x, y)\vert a\leq x\leq b, f(x)\leq y\leq g(x)\},
\end{displaymath}

其中 $f$$g$ 皆在 $[a, b]$ 上連續, 且 $f(x)\leq g(x)$, $\forall
x\in [a, b]$首先由逐次積分可求重積分 $\int\!\!\int_Q(\partial A/\partial
y)dxdy$ 如下:

\begin{eqnarray*}
\int\!\!\int_Q\frac {\partial A}{\partial y}dxdy &=&\int_a^b(\...
...a^b (A(x, g(x))-A(x, f(x)))dx\mbox{\raisebox{-1.2mm}{\large . }}
\end{eqnarray*}

$\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 包含四部分: 下方的 $f$ 之圖形, 上方 $g$ 之圖形, 及二垂直線, 如圖 4.1

圖 4.1.

因在垂直線段上之線積分為 0, 故

\begin{eqnarray*}
\oint_{\mbox{\boldmath {$\lambda$}}} Adx&=&\int_{\mbox{\small\...
...x))dx \\
&=&-\int\!\!\int_Q\frac {\partial A}{\partial y} dxdy,
\end{eqnarray*}

因此 (4.2) 成立

  同理若 $Q$ 為一第二型的區域, 亦可證明 (4.3) 成立故若一區域同時為第一型及第二 型, 則 Green 定理成立至於對較一般的區域, Green 定理仍成立, 但其證明超出這裡的範圍, 我們不擬多討論

例 1.利用 Green 定理求 $I=\oint_{\mbox{\boldmath {$\lambda$}}}(ydx+x^2ydy)$, 其中 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 為介於 (0, 0) 與 (1, 1) 間, 由 $y^2=x$$y=x$ 所形成之封閉曲線。  提示


例 2. $I=\oint{\mbox{\boldmath {$\lambda$}}}(y+3x)dx+(2y-x)dy)$, 其中 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 為橢圓 $4x^2+y^2=4$ 之周圍。  提示


例 3. $I=\int_{\mbox{\small\boldmath {$\lambda$}}}((5-xy-y^2)dx-(2xy-x^2)dy)$, 其中 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 為 頂點為 (0,0), (1,0), (1,1) 及 (10, 1) 之四邊形周圍, 方向為逆時針。  提示


例 4.$A(x, y)$$B(x, y)$ 皆為連續的實值函數, 其一 階偏導數皆存在且連續, 且對所有 $(x, y)$ 屬於平面上某開集合 $S$,

\begin{displaymath}
\frac {\partial A}{\partial y}=\frac {\partial B}{\partial x},
\end{displaymath}

則 Green 定理指出

\begin{displaymath}
\oint{\mbox{\boldmath {$\lambda$}}}(Adx+Bdy)=0,
\end{displaymath}

其中 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$$S$ 中任一逐段平滑的簡單封閉曲線, 且 $\mbox{\boldmath {$\lambda$}}$ 的內部亦在 $S$

  其他關於 Green 定理的一些歷史背景及進一步的討論, 可參考 Apostol (1969) pp.378-392.

 

進一步閱讀資料:黃文璋(2002). Green 定理微積分講義第十章,國立高雄大學應用數學系。