Green
定 理
a
二重積分及線積分間有一重要的關係,
即可將在平面上一區域的二重積分,
以此區域的邊界的線積分來表示。此結果通常稱為
Green 定理 。
在敘述此定理之前,
我們再介紹一符號。設
為平面上一逐段平滑的簡單封閉曲線 (即若
, 且
,
, , , 則
, , 所描述 出的曲線便稱為一簡單封閉曲線。平面上一圓即為一例)。則向量值函數
在
上逆時針方向的線積分以
表之。
a
若能證出
|
(4.2)
|
及
|
(4.3)
|
則此二式左、右分別相加, 便得
(4.1) 成立。
我們先對 為一第一型的區域, 證明 (4.2) 成立。即設
其中 與 皆在 上連續, 且 ,
。首先由逐次積分可求重積分
如下:
又
包含四部分: 下方的 之圖形, 上方 之圖形, 及二垂直線, 如圖 4.1。
因在垂直線段上之線積分為 0, 故
因此 (4.2) 成立。
同理若 為一第二型的區域, 亦可證明 (4.3) 成立。故若一區域同時為第一型及第二
型, 則 Green 定理成立。至於對較一般的區域,
Green 定理仍成立, 但其證明超出這裡的範圍,
我們不擬多討論。
例 1.利用 Green 定理求
, 其中
為介於 (0, 0) 與 (1, 1) 間, 由 與
所形成之封閉曲線。
例 2.求
, 其中
為橢圓 之周圍。
例 3.求
,
其中
為 頂點為 (0,0), (1,0), (1,1) 及
(10, 1) 之四邊形周圍, 方向為逆時針。
例 4.設 及 皆為連續的實值函數, 其一
階偏導數皆存在且連續, 且對所有 屬於平面上某開集合 ,
則 Green 定理指出
其中
為 中任一逐段平滑的簡單封閉曲線, 且
的內部亦在 中。
其他關於 Green 定理的一些歷史背景及進一步的討論,
可參考 Apostol (1969) pp.378-392.
進一步閱讀資料:黃文璋(2002).
Green
定理。微積分講義第十章,國立高雄大學應用數學系。