案例一汽車與山羊

  有些電視節目,為了吸引觀眾,常不定期地推出抽獎活動。假如今天你成為這位幸運的觀眾,可從三扇門中選擇一扇,門後就是你的獎品。其中有一扇門後有一部高級豪華轎車,另兩扇門後各只有一頭山羊。能得到汽車當然是比較好的。

               

當你選定一扇門後,主持人打開另一扇門,發現其中是隻山羊,他問你是否要更改選擇(此為著名的汽車-山羊問題(Car-Goat Problem), 改編自 1991721 New York Times) 

解答

  因為有三扇門,所以每一扇門後有汽車之機率皆為1/3。而依主持人事先知道或不知道門後有些什麼的情況,會產生不同的結果。底下將針對此二狀況做討論

狀況一(主持人知道那扇門後有汽車)

  由下圖可知,二隻山羊和一輛汽車的排法共有三種,即情節1、2、3等三種情形,故每種情節發生的機率為1/3。假設觀眾選定的是1號門的話,則有1/3的機率得到汽車,2/3的機率得到山羊;當情節1發生時,知道內情的主持人任意從2、3號門擇一打開,所以情節1分為1a、1b情況;不論其打開那扇門,門後皆是山羊,此時觀眾若要求換,得到的是山羊,此機率為1/3。但是當情節2、3發生時,知道內情的主持人選擇打開沒有汽車的那一扇門,後面一定是隻可愛的山羊,此時觀眾要求換便得到汽車的。情節2、3發生的機率為

               

  所以,若主持人事先知道汽車在那一扇門後,則此時原選定的那一扇門之後有汽車之機率仍為1/3,另一扇門後有汽車的機率則為2/3,所以換是較好的抉擇。

狀況二(主持人不知道那扇門後有汽車)

  假設觀眾選定的是1號門,主持人則自2號、3號門任挑一扇門打開。如圖每一情節發生的機率皆為1/6。

             

因主持人事先不知道汽車在那一扇門後,有可能打開一扇門後有汽車(情節3及6),此時遊戲結束。在打開的那扇門後是山羊的情節中,有兩種情節(1及2)另一扇門後亦為山羊,有兩種情節(4及5)另一扇門後為汽車。所以換或不換,會得到汽車的可能性皆相同。

 

類似問題

  有甲丙三囚犯,國王以抽籤決定釋放其中一位,處決另兩位。然後他告訴獄卒那一位將被釋放,但要求獄卒不可先透露。甲先是要求獄卒告訴他那一位會被釋放,遭到拒絕後,改為問獄卒,乙丙中那一位會被處決。獄卒經過一番思考,遂誠實地告訴甲,乙會遭處決。他認為這樣做並未違反國王的規定,原因為

  乙丙二人,至少有一會遭處決,因此他並未提供甲有關甲是否會被釋放的有用資訊。

  甲聽到獄卒說乙會被處決後很高興。原先他只知道自己有1/3的機會遭釋放,現因只剩他與丙了,所以他會被釋放的機會提高至1/2。

        究竟獄卒與甲誰的分析,何者才是正確的呢

解答

  令A, B, C分別表甲丙三人會被釋放的事件。如果我們考慮的結果是誰會被釋放,則ABC就是樣本空間。由假設P(A)=P(B)=P(C)=1/3。令K表獄卒說乙會被處決的事件。必須先了解的是,若乙丙皆會被處決,獄卒其實是任意挑一位告訴甲誰會被處決。而若乙將被釋放,獄卒只能告訴甲,丙會被處決,若丙將被釋放,獄卒只能告訴甲,乙會被處決。我們想求P(A|K)。首先由貝氏定理:

        因此

 

         換句話說,在獄卒告訴甲,乙會被處決後,甲會被釋放的機會(即P(A|K))仍維持為1/3。那獄卒所提供的資訊是否毫無用處呢那倒未必。假設丙偷聽到獄卒與甲的對話,則他知道他會被釋放的機會(即P(C|K))提高至2/3。而若乙偷聽到獄卒與甲的對話,則便知沒有活命的機會了(即P(B|K)=0)。最後,K的機率為1/2,直觀上是對的,這點讓各位自行想一想。

 

本文主題:條件機率

參考文獻

1. 黛博拉˙班奈特(2001). 機率中的矛盾。你賭對了嗎?一書第十章。 新新聞文化事業有限公司,台北。

2. 科林˙布魯斯(2001). 無碑文墳墓案。 數字的陷阱一書第五章。 時報文化出版企業股份有限公司,台北。

3. 黃文璋(2000). 瞻前顧後。統計薪傳,第1卷第1期,68-76。

4. 蔡聰明(1998). 轎車與山羊。科學月刊第二十九卷第十一期,906-909。