分位圖

利用樣本分位數來繪資料的圖, 稱為分位-分位圖(quantile-quantile plot, 又稱Q-Q plot), 簡稱Q-Q圖。 這是以圖形來檢驗數據是否來自某一分佈的方法。

以常態分佈的Q-Q圖(所謂normal quantile-quantile plot, 簡稱normal Q-Q plot, 有時也稱normal quantile plot)為例。在實際的應用裡, 我們常會想知道收集到的數據是否來自常態分佈的母體。 在第十章我們會引進較客觀的檢驗方法, 此處我們看如何由圖形來做初步的檢驗。先選取一些適當的$p$, 再以(6.1)式得到樣本之第$p$分位數$y_p$, 然後在座標平面上繪出所有$(x_p, y_p)$, 其中$x_p$為 $\mathcal{N}(0,1)$分佈之$p$分位數。 如果樣本是來自常態分佈的母體, 則其Q-Q圖近似於一條直線, 否則便不是。這是一種簡易地檢驗常態性(normality)的方法。

如果有$n$個樣本, 通常取$p_i=i/(n+1)$, $i=1,\cdots,n$, 則 $y_{p_i}=y_{(i)}$, 且常態分佈的Q-Q圖, 即所有點 $(x_{p_i},y_{(i)})$, $i=1,\cdots,n$, 其中 $x_{p_i}=\Phi^{-1}(p_i)$。

圖$6.5a$, $b$分別為20個來自 $\mathcal{E}(1)$及 $\mathcal{N}(0,1)$分佈的樣本點之常態分佈的Q-Q圖, 二者似乎都不像是直線。但若各產生300個樣本點, 並繪於圖$6.5c$及$d$, 則圖$6.5d$就像一條直線了。 這樣的以視覺來判定點是否在一直線上, 難免失之於主觀。 但圖示法是一種初步的檢定。

例1.3 設有9個樣本點

2.33, 5.69, 0.39, $-2.28$, $-2.14$, 3.31, $-0.72$, 1.63, -3.91。

我們想看是否源自於常態分佈。

    

圖6.5 圖$a, b$分別為 $\mathcal{E}(1)$及 $\mathcal{N}(0,1)$分佈20個樣本點之常態分佈的Q-Q圖, 圖$c,d$則為300個樣本點之常態分佈的Q-Q圖

    

由於樣本數$n=9$, 我們給出$(x_i, y_i)$, $i=1,\cdots,9$, 之圖, 其中$x_i$為 $\mathcal{N}(0,1)$
分佈之第$i/10$分位數, 即

$$\begin{eqnarray*} P(Z\leq x_i)=\frac {i}{10}, i=1,\cdots,9, \end{eqnarray*}$$

$y_i$為樣本第$i$個順序統計量。如此得下述9點:

$$\begin{eqnarray*} && (-1.28,-3.91), \ (-0.84,-2.28), \ (-0.52,-2.14), \ (-0.25, ... ...0.52, 2.33), \ (0.84, 3.31), \ (1.28, 5.69)\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$$

圖6.6給出常態分佈之Q-Q圖, 大致是線性, 只有圖的右上方較偏離。 這告訴我們說不定該進一步檢查資料是否登記有誤, 或是否資料無誤, 但有離群值存在。 事實上上述數據為由 $\mathcal{N}(0,9)$分佈所模擬產生, 但將數據3.69改為5.69。若將5.69改回3.69, 則$(x_i, y_i)$, $i=1,\cdots,9$, 便大致落在直線$y=3x$上(對 $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$分佈, 其理想的Q-Q圖為直線 $y=\sigma x+\mu$)。

圖6.6 常態分佈之Q-Q圖

    

當有$n$個樣本點, 有些書的常態分佈之Q-Q圖為繪點 $(x_{p_i},y_{(i)})$, $i=1,\cdots,n$, 其中$p_i=(i-1/2)/n$, 而$x_{p_i}$為 $\Phi^{-1}(p_i)$。 有些書則取 $p_i=(i-3/8)/(n+1/4)$。

如果是 $(p_i, y_{(i)})$, $i=1,\cdots,n$, 的圖, 便稱分位圖(quantile plot, 不過分位-分位圖有時也簡單的稱為分位圖)。 其中$p_i$則如前通常取為$i/(n+1)$(或$(i-1/2)/n$, 或 $(i-3/8)/(n+1/4)$)。與盒鬚圖相比, 分位圖展示所有的觀測, 及較多的分位數。

有Q-Q圖亦有P-P圖(probability-probability plot)。仍以常態分佈為例, 點 $(p_i, \Phi(y_{(i)}))$, $i=1,\cdots,n$, 之圖形, 即為P-P圖。 又在上述Q-Q圖及P-P圖的定義中, 常態分佈可改為其他分佈。 如對$\chi_r^2$分佈, 則得$\chi_r^2$之Q-Q圖及P-P圖等。

圖6.7為 $\mathcal{E}(1)$及 $\mathcal{N}(0,1)$分佈之P-P圖。