4.4多變量常態分佈

多變量常態分佈

　　在實際的問題中, 單變數的常態分佈常出現, 此因有中央極限定理, 故若有許多獨立的隨機變數, 則經常態化後, 其和往往趨近至常態分佈。若我們有好幾個變數, 則多維的中央極限定理便會導致多維常態分佈, 或說多變量常態分佈。雖然我們在3.6節已介紹過二變數常態分佈, 但由於多變量常態分佈之重要性, 因此本節來討論多變量的情況。

　　在討論多變量常態分佈之前, 我們先複習一些需要的矩陣代數之知識。至於更詳盡的關於機率及統計中所需之矩陣的知識, Graybill(1983)為一本很好的參考書。在本節中, 我們所提到之向量及矩陣, 其元素皆為實數。

　　設有變數 $x_1,\cdots,x_n$ , 並考慮下述變換:

$\displaystyle y_1$	$\textstyle =$	$\displaystyle a_{11}x_1+a_{21}x_2+\cdots+a_{n1}x_n,$	(4.1)
$\displaystyle y_2$	$\textstyle =$	$\displaystyle a_{12}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{n2}x_n,$
	$\textstyle \vdots$
$\displaystyle y_n$	$\textstyle =$	$\displaystyle a_{1n}x_1+a_{2n}x_2+\cdots+a_{nn}x_n,$

其中 $a_{ij},1\le i,j\le n$ ,為常數。若 $\sum_{i=1}^n y_i^2=\sum_{i=1}^n x_i^2$ , 則稱為一由 $x_1,\cdots, \linebreak x_n$ 至 $y_1,\cdots,y_n$ 之正交變換。現對任一 $m \times n$ 的矩陣 $B=(b_{ij})$ , 令表之轉置, 即 $B'=(b_{ji})$ 。列向量(為一 $1 \times n$ 的矩陣)之轉置, 就成為一 $n \times 1$ 的行向量。若令

$\begin{eqnarray*} &&\mbox{\boldmath {$x$}}=(x_1,\cdots,x_n), \\ &&\mbox{\boldma... ...ots,y_n), \\ &&\mbox{\boldmath {$A$}}=(a_{ij})_{1\le i,j\le n}, \end{eqnarray*}$

則(4.1)式之變換可以下述矩陣及向量來表示:

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath {$y$}}=\mbox{\boldmath {$x$}}\mbox{\boldmath {$A$}}\raisebox{-1.2mm}{。} \end{displaymath}$

(4.2)

因此(4.1)式定義出一正交變換,若且唯若

$\begin{displaymath}\mbox{\boldmath {$x$}}\mbox{\boldmath {$x$}}^{'}=\mbox{\boldm... ...math {$A$}}^{'}\mbox{\boldmath {$x$}}^{'}\raisebox{-1.2mm}{。} \end{displaymath}$

即若且唯若 $\mbox{\boldmath {$A$}}\mbox{\boldmath {$A$}}^{'}=\mbox{\boldmath {$I$}}_n$ , 其中 $\mbox{\boldmath {$I$}}_n$ 為 $n\times n$ 之單位矩陣。一 $n\times n$ 之矩陣 $\mbox{\boldmath {$A$}}$ 稱為一正交矩陣, 若其滿足

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath {$A$}}^{'}\mbox{\boldmath {$A$}}=\mbox{\bold... ...}}^{'}=\mbox{\boldmath {$I$}}_n \ \mbox{\raisebox{-1.2mm}{。}} \end{displaymath}$

(4.3)

此時 $\mbox{\boldmath {$A$}}^{-1}=\mbox{\boldmath {$A$}}^{'}$ ,且 $\det\mbox{\boldmath {$A$}}=1$ 。對一矩陣 $\mbox{\boldmath {$A$}}$ 我們以 $\det \mbox{\boldmath {$A$}}$ 或 $\vert\mbox{\boldmath {$A$}}\vert$ 表其行列式。

　　設 $\mbox{\boldmath {$A$}}$ 為一 $m \times n$ 之矩陣, 以 $r(\mbox{\boldmath {$A$}})$ 表 $\mbox{\boldmath {$A$}}$ 之秩, 則 $r(\mbox{\boldmath {$A$}})\le \min \{ m,n \}$ 。而若 $r(\mbox{\boldmath {$A$}})=\min \{ m,n \}$ , 則稱 $\mbox{\boldmath {$A$}}$ 為非奇異的或全秩, 否則 $\mbox{\boldmath {$A$}}$ 稱為奇異的。

　　其次我們介紹正定矩陣。首先設 $\mbox{\boldmath {$A$}}$ 為一 $n\times n$ 之矩陣,則下述行列式

$\begin{displaymath} \det (\mbox{\boldmath {$A$}}-\lambda \mbox{\boldmath {$I$}}_... ...t\mbox{\boldmath {$A$}}-\lambda \mbox{\boldmath {$I$}}_n\vert, \end{displaymath}$

(4.4)

其中 $\lambda$ 為一純量, 為一 $\lambda$ 之次多項式, 稱為 $\mbox{\boldmath {$A$}}$ 之特徵多項式。而

$\begin{displaymath} \vert\mbox{\boldmath {$A$}}-\lambda \mbox{\boldmath {$I$}}_n\vert=0 \end{displaymath}$

(4.5)

之個根, 稱為 $\mbox{\boldmath {$A$}}$ 之特徵根或固有值。又 $\lambda$ 為 $\mbox{\boldmath {$A$}}$ 之一特徵根, 若且唯若存在一向量 $\mbox{\boldmath {$x$}}\neq {\bf0}$ , 使得 $\mbox{\boldmath {$x$}} \mbox{\boldmath {$A$}}=\lambda \mbox{\boldmath {$x$}}, \mbox{\boldmath {$x$}}$ 稱為特徵向量。
　　

定義 1.一 $n\times n$ 之對稱矩陣 $\mbox{\boldmath {$A$}}$ (即若 $\mbox{\boldmath {$A$}}=(a_{ij})$ , 則 $a_{ij}= a_{ji})$ 稱為正定、負定或半正定, 若且唯若對每一維向量 $\mbox{\boldmath {$x$}}\neq {\bf0}, \mbox{\boldmath {$x$}}\mbox{\boldmath {$A$}}\mbox{\boldmath {$x$}}^{'}>0,\ <0$ 或 $\ge 0$ 。

定理 1.一 $n\times n$ 實矩陣為正定、負定或半正定,若其特徵根 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ , 分別滿足 $\lambda_i>0$ , $\lambda_i<0$ , $\lambda_i \ge 0$ , $\forall i=1,\cdots,n$ 。

　　另外, 一 $n\times n$ 之矩陣稱為冪等, 若 $\mbox{\boldmath {$A$}}^2=\mbox{\boldmath {$A$}}$ 。
　　

定理 2. (i) 設有一 $n\times n$ 之對稱矩陣 $\mbox{\boldmath {$A$}}$ , 則存在一正交矩陣 $\mbox{\boldmath {$B$}}$ , 使得 $\mbox{\boldmath {$B$}}\mbox{\boldmath {$A$}}\mbox{\boldmath {$B$}}^{'}$ 為對角矩陣, 且對角之元素即為 $\mbox{\boldmath {$A$}}$ 之特徵根。而若加上 $\mbox{\boldmath {$A$}}$ 為正定, 則存在一非奇異矩陣 $\mbox{\boldmath {$C$}}$ , 使得 $\mbox{\boldmath {$C$}}\mbox{\boldmath {$A$}}\mbox{\boldmath {$C$}}^{'}=\mbox{\boldmath {$I$}}_n$ 。

(ii) 設 $\mbox{\boldmath {$B$}}$ 為一 $n\times n$ 之矩陣且 $r(\mbox{\boldmath {$B$}})=r$ 。若 $\mbox{\boldmath {$B$}}$ 為冪等矩陣, 則 $\mbox{\boldmath {$B$}}$ 有個非零特徵根且皆為1; 若 $\mbox{\boldmath {$B$}}$ 為對稱矩陣, 則 $\mbox{\boldmath {$B$}}$ 為冪等之充要條件為 $\mbox{\boldmath {$B$}}$ 有個非零特徵根, 且皆為1。

定理 3.設有變數 $x_1,\cdots,x_n$ 及常數 $a_{11},\cdots,a_{n1}$ ,且

$\begin{displaymath} y_1=a_{11}x_1+a_{21}x_2+\cdots+a_{n1}x_n \ \mbox{\raisebox{-1.2mm}{。}} \end{displaymath}$

(4.6)

則只要 $\sum_{i=1}^{n}a_{i_1}^2=1$ , 必存在 $a_{ij}$ , $i=1,\cdots,n$ , $j=2,\cdots,n$ , 使得若令 $y_i=\sum_{j=1}^{n}a_{ji}x_j, i=2,\cdots,n$ , 則 $x_1,\cdots,x_n$ 至 $y_1,\cdots,y_n$ 為一正交變換。即 $\mbox{\boldmath {$A$}}=(a_{ij})_{1\le i,j\le n}$ 為一正交矩陣。

　　現在我們可以定義多變量常態分佈了。
　　

定義 2.設 $X_1, \cdots , X_n$ 為i.i.d.有 ${\cal N}(0,1)$ 分佈之隨機變數, $\mbox{\boldmath {$A$}}=(a_{ij})$ 為一 $n \times m$ 之矩陣, $\mbox{\boldmath {$\mu$}}=(\mu_1,\cdots,\mu_m)$ 為一列向量。令 $\mbox{\boldmath {$X$}}=(X_1,\cdots,X_n)$ , 則

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath {$Y$}}=(Y_1,\cdots,Y_m)=\mbox{\boldmath {$X$}}\mbox{\boldmath {$A$}}+ \mbox{\boldmath {$\mu$}} \end{displaymath}$

(4.7)

稱為有 $\mbox{\mathversion{bold}{$m$}}$ 維常態分佈, 或 $\mbox{\mathversion{bold}{$m$}}$ 變量常態分佈, 通稱多變量常態分佈。

　　由上述定義知, 若 $Y_1,\cdots,Y_m$ 有多變量常態分佈, 則其任一子集仍有多變量常態分佈。 $\mbox{\mathversion{bold}{$Y$}}$ 之期望向量為

共變異數矩陣為

$\begin{eqnarray*} \mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}}_{\mbox{\scriptsize\boldmat... ...{\boldmath {$A$}}^{'}\mbox{\boldmath {$A$}}\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$

此處因 $X_1, \cdots , X_n$ 為i.i.d.之 ${\cal N}(0,1)$ 隨機變數, 故若, 則, 若 $i \neq j$ , 則。因此 $E(\mbox{\boldmath {$X$}}^{'}\mbox{\boldmath {$X$}})=\mbox{\boldmath {$I$}}_n$ 為一單位矩陣。底下我們求 $\mbox{\boldmath {$Y$}}$ 之動差母函數 $M_{\mbox{\scriptsize\boldmath {$Y$}}}(\mbox{\boldmath {$t$}})$ , 其中 $\mbox{\boldmath {$t$}}=(t_1,\cdots,t_m) \in R^{m}$ 。依定義得

$\begin{eqnarray*} M_{\mbox{\scriptsize\boldmath {$Y$}}}(\mbox{\boldmath {$t$}})... ...\scriptsize\boldmath {$X$}}^{'}}) \ \mbox{\raisebox{-1.2mm}{。}} \end{eqnarray*}$

但

$\begin{displaymath}\mbox{\boldmath {$t$}}\mbox{\boldmath {$A$}}^{'}\mbox{\boldma... ...=1}^m t_{j}a_{1j})X_1+\cdots+(\sum_{j=1}^m t_{j}a_{nj})X_n \ , \end{displaymath}$

故 (仍利用 $X_1, \cdots , X_n$ 為i.i.d.之 ${\cal N}(0,1)$ 隨機變數)

$\begin{eqnarray*} E(e^{\mbox{\small\boldmath {$t$}}\mbox{\small\boldmath {$A$}}... ...box{\boldmath {$t$}}^{'} \right\} \ \mbox{\raisebox{-1.2mm}{。}} \end{eqnarray*}$

因此

$\begin{displaymath} M_{\mbox{\scriptsize\boldmath {$Y$}}}(\mbox{\boldmath {$t$}... ...\scriptsize\boldmath {$Y$}}} \mbox{\boldmath {$t$}}^{'} \} \ , \end{displaymath}$

(4.8)

其中如前

(4.9)

可看出若知 $\mbox{\boldmath {$Y$}}$ 之動差母函數有(4.8)式的型式, 則 $\mbox{\boldmath {$Y$}}$ 之分佈可由期望向量 $\mbox{\boldmath {$\mu$}}$ 及共變異數矩陣 $\mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}}_{\mbox{\scriptsize\boldmath {$Y$}}}$ 所完全決定, 此性質與單變數常態分佈類似。因此我們便以 ${\cal MN}(\mbox{\boldmath {$\mu$}},\mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}})$ 表此分佈。

　　當 $\mbox{\boldmath {$A$}}$ 為一 $n\times n$ 之非奇異矩陣, 即 $\vert\mbox{\boldmath {$A$}}\vert \neq 0$ , 底下我們求 $\mbox{\boldmath {$Y$}}$ 之p.d.f. 。首先 $\mbox{\boldmath {$X$}}$ 之p.d.f.可寫成

$\begin{eqnarray*} f_{\mbox{\scriptsize\boldmath {$X$}}}(\mbox{\boldmath {$x$}})... ...ldmath {$x$}}\mbox{\boldmath {$x$}}^{'} \} \raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$

由(4.7)式得

$\begin{displaymath}\mbox{\boldmath {$X$}}=(\mbox{\boldmath {$Y$}}-\mbox{\boldmath {$\mu$}})\mbox{\boldmath {$A$}}^{-1}, \end{displaymath}$

故

$\begin{eqnarray*} f_{\mbox{\scriptsize\boldmath {$Y$}}}(\mbox{\boldmath {$y$}}) ... ...old}{$\Sigma$}}_{\mbox{\scriptsize\boldmath {$Y$}}}\vert^{-1/2}, \end{eqnarray*}$

此處用到

$\begin{displaymath}\mbox{\boldmath {$A$}}^{-1}(\mbox{\boldmath {$A$}}^{-1})^{'}=... ...{\scriptsize\boldmath {$Y$}}}\vert^{-1/2}\raisebox{-1.2mm}{。} \end{displaymath}$

因此 $\mbox{\boldmath {$Y$}}$ 之p.d.f.為

$\displaystyle f_{\mbox{\scriptsize\boldmath {$Y$}}}(\mbox{\boldmath {$y$}})$	(4.10)
$\displaystyle =(2\pi)^{-n/2}\vert\mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}}_{\mbox{\sc... ...\boldmath {$\mu$}})^{'} \}, \mbox{\boldmath {$y$}}\in R^n \raisebox{-1.2mm}{。}$

　　一個有維常態分佈之隨機變數, 若其p.d.f.型式如(4.10)式, 便稱有非奇異之 $\mbox{\mathversion{bold}{$n$}}$ 維常態分佈。亦即若 $\mbox{\boldmath {$Y$}}=(Y_1,\cdots,Y_n)$ 有 ${\cal MN}(\mbox{\boldmath {$\mu$}},\mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}})$ 分佈, 且 $\vert\mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}}\vert \neq 0$ , 則 $\mbox{\boldmath {$Y$}}$ 之p.d.f.可寫出如(4.10)式, 其中 $\mbox{\mathversion{bold}{$\mu$}}$ 及 $\mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}}$ 分別為 $\mbox{\mathversion{bold}{$Y$}}$ 之期望向量及共變異數矩陣。即若 $\mbox{\mathversion{bold}{$\mu$}}=(\mu_1,\cdots,\mu_n)$ , $\mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}}=(\sigma_{ij})$ 為一 $n\times n$ 矩陣, 則

$\begin{eqnarray*} && E(Y_i)=\mu_i, i=1,\cdots,n,\\ && \mbox{Var}(Y_i)=\sigma_{i... ...x{Cov}(Y_i,Y_j)=\sigma_{ij}, i,j=1,\cdots,n\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$

　　我們再寫一較一般的定理如下, 證明則留在習題。

定理 4.設 $\mbox{\boldmath {$X$}}=(X_1,\cdots,X_n)$ 有 ${\cal MN}(\mbox{\boldmath {$\mu$}},\mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}})$ 分佈, $\mbox{\boldmath {$C$}}$ 為一 $n \times m$ 矩陣, $\mbox{\boldmath {$V$}}$ 為一 $1 \times m$ 之常數向量, 令 $\mbox{\boldmath {$Y$}}=\mbox{\boldmath {$X$}}\mbox{\boldmath {$C$}}+\mbox{\boldmath {$V$}}$ , 則 $\mbox{\boldmath {$Y$}}$ 亦有維常態分佈, 且 $E(\mbox{\boldmath {$Y$}})=\mbox{\boldmath {$\mu$}}\mbox{\boldmath {$C$}}+\mbox{... ...x{\boldmath {$C$}}^{'}\mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}}\mbox{\boldmath {$C$}}$ 。特別地, 若 , 即 $\mbox{\boldmath {$C$}}=\mbox{\boldmath {$c$}}^{'}$ 為一 $n \times 1$ 之行向量, 且設 $\mbox{\boldmath {$V$}}={\bf0}$ , 則 $\mbox{\boldmath {$Y$}}=\mbox{\boldmath {$X$}}\mbox{\boldmath {$c$}}^{'}$ (為一 $X_1, \cdots , X_n$ 之線性組合) 有 ${\cal N}(\mbox{\boldmath {$\mu$}}\mbox{\boldmath {$c$}}^{'},\mbox{\boldmath {$c$}}\mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}}\mbox{\boldmath {$c$}}^{'})$ 分佈。

例 1. 設 $\mbox{\boldmath {$X$}}=(X_1,X_2)$ 有 ${\cal MN}(\mbox{\boldmath {$\mu$}},\mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}})$ 分佈。由定理 4, 此時皆有常態分佈。設分別有 ${\cal N}(\mu_1, \sigma_1^2)$ 及 ${\cal N}(\mu_2, \sigma_2^2)$ 分佈, 且令 $\rho$ 表與之相關係數, 設 $\vert\rho\vert \neq 1$ 。共變異數矩陣為

$\begin{displaymath}\mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}}=\left( \begin{array}{cc} ... ... \rho \sigma_1 \sigma_2 & \sigma_2^2 \end{array} \right) \ ,\end{displaymath}$

且 $\vert\mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}}\vert=\sigma_1^2\sigma_2^2(1-\rho^2)$ 。求之聯合p.d.f.。

例 2. 設 $\mbox{\mathversion{bold}{$X$}}=(X_1,X_2,X_3)$ 有 $\mathcal{MN}(\mbox{\mathversion{bold}{$\mu$}},\mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}})$ 分佈, 其中

試求 $\mbox{\mathversion{bold}{$X$}}$ 之p.d.f.。

例 3.設為i.i.d.之 $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ 隨機變數。令 $\mbox{\mathversion{bold}{$X$}}=(X_1,X_2,X_3)$ ,

其中

試決定 $\mbox{\mathversion{bold}{$Y$}}$ 之分佈。

　　附帶一提, 由上述結果知, $Y_1=(X_1+X_2+X_3)/3=\overline{X}$ 之邊際分佈為 $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2/3)$ , 此證實定理3.1的結論。又, 皆有 $\mathcal{N}(\mu,2\sigma^2)$ 分佈, 此也與3.5節二變數常態分佈的性質(iii)吻合。又因 $\mbox{Cov}(Y_1,Y_2)=\mbox{Cov}(Y_1,Y_3)=0$ , 故由二變數常態分佈的性質(iv)知, 與, 與皆獨立。

　　底下二定理的證明皆留在習題中。
　　

定理 5.設 $\mbox{\boldmath {$X$}}=(X_1,\cdots,X_n)$ 有維常態分佈, 則與獨立, 其中 $1 \leq i \neq j \leq n$ , 若且唯若 $\mbox{Cov}(X_i, X_j)=0$ 。即若且唯若其共變異數矩陣 $\mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}}$ 之 (以及)位置的元素為。又 $X_1, \cdots , X_n$ 相互獨立, 若且唯若 $\mbox{Cov}(X_i,X_j)=0,\forall \ 1 \leq i, j \leq n$ , 且 $i \neq j$ 。即若且唯若 $\mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}}$ 為對角矩陣。

定理 6.設有個維之獨立的隨機向量 ${\mbox{\boldmath {$X$}}_1,\cdots,\mbox{\boldmath {$X$}}_k}$ , 分別有 ${\cal MN}(\mbox{\boldmath {$\mu$}}_j,\mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}}_j)$
分佈, $j=1,\cdots,k$ 。令 $\mbox{\boldmath {$X$}}=\sum_{j=1}^k c_j \mbox{\boldmath {$X$}}_j$ , 其中 $c_1,\cdots,c_k$ 為常數, 且 $\sum_{j=1}^{k} c_j^2\linebreak\neq 0$ , 則 $\mbox{\boldmath {$X$}}$ 有 ${\cal MN}(\sum_{j=1}^k c_j \mbox{\boldmath {$\mu$}}_j,\sum_{j=1}^k c_j^2 \mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}}_j)$ 分佈。

　　設 $\mbox{\boldmath {$x$}}=(x_1,\cdots,x_n)$ , $\mbox{\boldmath {$C$}}$ 為一 $n\times n$ 之對稱矩陣, 則 $\mbox{\boldmath {$x$}}\mbox{\boldmath {$C$}}\mbox{\boldmath {$x$}}^{'}$ 稱為一 $\mbox{\boldmath {$x$}}$ 之二次形式。關於二次形式, 我們有下述結果。
　　

定理 7.設 $\mbox{\boldmath {$X$}}=(X_1,\cdots,X_n)$ 有 ${\cal MN}(\mbox{\boldmath {$\mu$}},\mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}})$ 分佈, $\vert\mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}}\vert \neq 0$ , 且令 $Q=(\mbox{\boldmath {$X$}}-\mbox{\boldmath {$\mu$}})\mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}}^{-1}(\mbox{\boldmath {$X$}}-\mbox{\boldmath {$\mu$}})^{'}$ , 則有 $\chi_n^2$ 分佈。

　　若有 ${\cal N}(\mu_i,\sigma_i^2)$ 分佈, $i=1,\cdots,n$ , 且 $X_1, \cdots , X_n$ 相互獨立, 則易知此時

$\begin{displaymath}Q=\sum_{i=1}^n (X_i-\mu_i)^2/ \sigma_i^2 \end{displaymath}$

有 $\chi_n^2$ 分佈, 定理 7 即此結果之推廣。我們再給此結果之另一推廣。
　　

定理 8.設 $X_1, \cdots , X_n$ 為i.i.d.之 ${\cal N}(0,\sigma^2)$ 隨機變數, 且令 $\mbox{\boldmath {$X$}}=(X_1,\cdots, \linebreak X_n)$ 。又設 $\mbox{\boldmath {$C$}}$ 為一 $n\times n$ 之對稱非零矩陣, 令 $Q=\mbox{\boldmath {$X$}}\mbox{\boldmath {$C$}}\mbox{\boldmath {$X$}}^{'}/\sigma^2$ , 則有 $\chi_r^2$ 分佈, 若且唯若 $\mbox{\boldmath {$C$}}$ 為一冪等矩陣, 且 $r(\mbox{\boldmath {$C$}})=r$ 。

註 1 若 $\mbox{\boldmath {$C$}}= \mbox{\boldmath {$I$}}_n$ , 則 $\mbox{\boldmath {$C$}}$ 為一冪等矩陣且 $r(\mbox{\boldmath {$C$}}) = n$ 。此時 $Q=\sum_{i=1}^n X_i^2 \linebreak / \sigma^2$ 有 $\chi_n^2$ 分佈為一早已知道的結果。定理 8即為此結果之推廣。

註 2 在定理 8中, 若有 ${\cal N}(\mu,\sigma^2)$ 分佈, 則有非中心卡方分佈, 且自由度為, 若且唯若 $\mbox{\boldmath {$C$}}^2=\mbox{\boldmath {$C$}}$ 且 $r(\mbox{\boldmath {$C$}}) \linebreak =r$ 。且此時非中心參數為 $\mbox{\boldmath {$\mu$}}\mbox{\boldmath {$C$}}\mbox{\boldmath {$\mu$}}^{'} / \sigma^2$ , 其中 $\mbox{\boldmath {$\mu$}}=(\mu,\cdots,\mu)$ 。由於 $\mbox{\boldmath {$\mu$}}\mbox{\boldmath {$C$}}\mbox{\boldmath {$\mu$}}^{'} =\mu^2 \sum_{i,j} c_{ij}$ , 其中 $\mbox{\boldmath {$C$}}=(c_{ij})$ , 故若 $\mu \neq 0$ , 則 $\mbox{\boldmath {$C$}}^2=\mbox{\boldmath {$C$}},r(\mbox{\boldmath {$C$}})=r$ , 且 $\sum_{i,j}c_{ij}=0$ , 為有 $\chi_r^2$ 之充要條件。

　　其他尚有許多關於二次形式之有趣的結果, 可參考 Hogg and Craig (1970)Chapter 12, 及Roussas(1997)Chapter 19。至於有關多變量常態分佈較完整的討論可參考 Anderson(1984)Chapter 2。

　　最後, 對 $X_1, \cdots , X_n$ 為i.i.d.之 ${\cal N}(\mu,\sigma^2)$ 隨機變數, 我們給樣本平均 $\overline{X}_{n}$ 與樣本變異數獨立之另一證明。

　　由定理 3, 可造出一正交矩陣 $\mbox{\boldmath {$C$}}=(c_{ij})$ , 滿足 $\mbox{\boldmath {$C$}}\mbox{\boldmath {$C$}}^{'}=\mbox{\boldmath {$I$}}_n$ , 且 $\mbox{\boldmath {$C$}}$ 之第一行為 $(\frac{1}{\sqrt{n}},\cdots,\frac{1}{\sqrt{n}})^{'}$ 。又令 $\mbox{\boldmath {$Y$}}=\mbox{\boldmath {$X$}}\mbox{\boldmath {$C$}}$ , 其中 $\mbox{\boldmath {$Y$}}=(Y_1,\cdots,Y_n),\ \mbox{\boldmath {$X$}}=(X_1,\cdots,X_n)$ 。由定理 4知 $\mbox{\boldmath {$Y$}}$ 有 ${\cal MN}(\mbox{\boldmath {$\mu$}}\mbox{\boldmath {$C$}},\mbox{\boldmath {$C$}}^{'}\mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}}\mbox{\boldmath {$C$}})$ 分佈, 其中

$\begin{eqnarray*} && \mbox{\boldmath {$\mu$}}=(\mu,\cdots,\mu),\\ && \mbox{\mat... ...right) = \sigma^2 \mbox{\boldmath {$I$}}_n \raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$

顯然 $\mbox{\boldmath {$C$}}^{'}\mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}}\mbox{\boldmath {$C$}}=\mbox{\mathversion{bold}{$\Sigma$}}=\sigma^2 \mbox{\boldmath {$I$}}_n$ , 故 $Y_1,\cdots,Y_n$ 仍為相互獨立。因 $\mbox{\boldmath {$C$}}$ 為正交矩陣, 且第一行為 $(\frac{1}{\sqrt{n}},\cdots,\frac{1}{\sqrt{n}})^{'}$ , 故 $\sum_{i=1}^n a_{ij} \frac{1}{\sqrt{n}}=0,j=2,\cdots,n$ 。因此

$\begin{displaymath}E(Y_1)=\sqrt{n} \mu,\ E(Y_j)=\mu\sum_{i=1}^n a_{ij}=0, \ j=2,\cdots,n \ \mbox{\raisebox{-1.2mm}{。}}\end{displaymath}$

即 $Y_1,\cdots,Y_n$ 不但相互獨立, 且有 ${\cal N}(\sqrt{n}\mu,\sigma^2)$ 分佈, 有 ${\cal N}(0,\sigma^2)$ 分佈, $j=2,\cdots,n$ 。由此又得 $\sum_{j=2}^n Y_j^2/ \sigma^2$ 有 $\chi_{n-1}^2$ 分佈。又 $\overline{X}_{n}=Y_1/ \sqrt{n}$ , 因此 $\overline{X}_{n}$ 有 ${\cal N}(\mu, \sigma^2/n)$ 分佈, 若能再證出

$\begin{displaymath}\sum_{j=2}^n Y_j^2=\sum_{j=1}^n (X_j-\overline{X}_n)^2 \end{displaymath}$

便得證了。但

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n (X_j-\overline{X}_n)^2 &=& \sum_{j=1}^n X_j^2 -n\... ... {$Y$}}^{'}-Y_1^2 \\ &=&\sum_{j=2}^n Y_j^2\raisebox{-1.2mm}{。} \end{eqnarray*}$

證畢。

進一步閱讀資料：黃文璋 (2003) . 多變量常態分佈。數理統計講義第四章。國立高雄大學應用數學系。